克希荷夫定律與矩陣運算

作者：王一哲
日期：2024年7月8日

原理

當電路上只有電池與電阻器，但又不是單純的串聯、並聯電路時，可以利用克希荷夫定律 (Kirchhoff's circuit laws) 求所有的分支電流。克希荷夫定律有兩個定則

1. 節點定則：對於電路上的某個節點而言，流入、流出的電流量值相等，實際上就是電荷守恆。
2. 迴路定則：對於電路上的某個迴路而言，繞一圈回到出發點時電位相等，實際上就是能量守恆。

下圖是 WikiPedia 克希荷夫定律英文版條目的例子

圖片來源：https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/7/77/Kirshhoff-example.svg

由圖中右方的節點可得 $$ i_1 = i_2 + i_3 $$ 由上方的迴路可得 $$ \varepsilon_1 - i_1 R_1 - i_2 R_2 = 0 $$ 由下方的迴路可得 $$ -i_3 R_3 - \varepsilon_2 - \varepsilon_1 + i_2 R_2 = 0 $$ 整理以上3式可得 $$ \begin{cases} i_1 - i_2 - i_3 = 0 \\ i_1 R_1 - i_2 R_2 = \varepsilon_1 \\ i_2 R_2 - i_3 R_3 = \varepsilon_1 + \varepsilon_2 \end{cases} ~\Rightarrow~ \begin{cases} 1 \cdot i_1 + (-1) \cdot i_2 + (-1) \cdot i_3 = 0 \\ R_1 \cdot i_1 + (-R_2) \cdot i_2 + 0 \cdot i_3 = \varepsilon_1 \\ 0 \cdot i_1 + R_2 \cdot i_2 + (-R_3) \cdot i_3 = \varepsilon_1 + \varepsilon_2 \end{cases} $$ 如果轉換成矩陣型式 $$ \begin{bmatrix} 1 & -1 & -1 \\ R_1 & R_2 & 0 \\ 0 & R_2 & -R_3 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} i_1 \\ i_2 \\ i_3 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 \\ \varepsilon_1 \\ \varepsilon_1 + \varepsilon_2 \end{bmatrix} $$ 假設代入的數值分別為 $$ R_1 = 100 ~\mathrm{\Omega},~ R_2 = 200 ~\mathrm{\Omega},~ R_3 = 300 ~\mathrm{\Omega},~ \varepsilon_1 = 3 ~\mathrm{V},~ \varepsilon_2 = 4 ~\mathrm{V} $$ 電流分別為 $$ i_1 = \frac{1}{1100} ~\mathrm{A},~ i_2 = \frac{4}{275}~\mathrm{A},~ i_3 = -\frac{3}{220} ~\mathrm{A} $$

使用 Python 及 C++ 計算矩陣乘法、反矩陣

作者：王一哲
日期：2024年7月7日

前言

矩陣乘法及反矩陣的運算會出現在高中數學教材之中，同時也可以運用在物理課程之中，例如克希荷夫定律求分支電流。我之前都是直接用 NumPy 處理，為了更了解運算的過程，我再花了一些時間研究不使用 NumPy 的寫法。

矩陣乘法

運算原則

矩陣橫的部分為列 (row)、直的部分為欄 (column)，如果某個矩陣共有 $m$ 列、$n$ 欄，則這個矩陣的維度 (dimension) 為 $m \times n$。假設 $A$ 矩陣的維度為 $m \times n$，$B$ 矩陣的維度為 $n \times p$，則兩個矩陣相乘 $AB$ 的維度為 $m \times p$。如果兩個矩陣要相乘，第一個矩陣的欄與第二個矩陣的列數量必須相等。需要特別注意，矩陣乘法沒有交換性。 假設矩陣 $$ A = \begin{bmatrix} a_{0, 0} & a_{0, 1} & a_{0, 2} & \dots \\ a_{1, 0} & a_{1, 1} & a_{1, 2} & \dots \\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} A_1 & A_2 & \dots \end{bmatrix} $$ $$ B = \begin{bmatrix} b_{0, 0} & b_{0, 1} & b_{0, 2} & \dots \\ b_{1, 0} & b_{1, 1} & b_{1, 2} & \dots \\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} B_1 \\ B_2 \\ \vdots \end{bmatrix} $$ 相乘的結果 $$ AB = \begin{bmatrix} a_{0, 0} b_{0, 0} + a_{0, 1} b_{1, 0} + \dots & a_{0, 0} b_{0, 1} + a_{0, 1} b_{1, 1} + \dots & \dots \\ a_{1, 0} b_{0, 0} + a_{1, 1} b_{1, 0} + \dots & a_{1, 0} b_{1, 1} + a_{0, 1} b_{1, 1} + \dots & \dots \\ \vdots & \vdots & \ddots \end{bmatrix} = A_1 B_1 + A_2 B_2 + \dots $$