ZeroJudge 解題筆記：c104. 00167 - The Sultan's Successors

作者：王一哲
日期：2026年3月6日


ZeroJudge 題目連結：c104. 00167 - The Sultan's Successors

解題想法

八皇后的變型，主要考遞迴跟回溯。

Python 程式碼

使用時間約為 21 ms，記憶體約為 3 MB，通過測試。

import sys

def solve(grid):  # 主要的解題函式
    rows = [-1]*8  # 目前皇后放置的列
    cols, dia1, dia2 = set(), set(), set()  # 已用的欄、左上右下對角線、右上左下對角線
    imax = 0  # 最高分，預設為 0
    ### 回溯，代入列、目前的分數 ###
    def backtrack(row, curr):
        nonlocal imax  # 這樣才能改變外層 imax 的值
        if row == 8:  # 遞迴出口，已放置 8 個皇后
            imax = max(imax, curr)  # 更新 imax
        # 試著在此列每一欄放置皇后
        for col in range(8):
            # 檢查欄、左上右下、右上左下是否已被佔用
            if col not in cols and (row-col) not in dia1 and (row+col) not in dia2:
                # 可以放置皇后
                rows[row] = col
                cols.add(col)
                dia1.add(row-col)
                dia2.add(row+col)
                # 遞迴到下一列，代入加上 (row, col) 的分數
                backtrack(row+1, curr+grid[row][col])
                # 回溯，移除皇后，恢復佔用的狀態
                rows[row] = -1
                cols.remove(col)
                dia1.remove(row-col)
                dia2.remove(row+col)
    ### End of backtrack ###
    backtrack(0, 0)  # 從第 0 列、分數 0 開始回溯
    return imax  # 回傳最高分

idx = 0
lines = sys.stdin.readlines()
t = int(lines[idx])
idx += 1
for _ in range(t):
    grid = [list(map(int, line.split())) for line in lines[idx:idx+8]]
    idx += 8
    imax = solve(grid)
    sys.stdout.write(f"{imax:5d}\n")

ZeroJudge 解題筆記：c103. 00131 - The Psychic Poker Player

作者：王一哲
日期：2026年3月5日


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解題想法

這題我只寫了 Python 版本。我先為每一種牌型寫一個自訂函式，再用另一個自訂函式 check 檢查手牌的牌型，由高分檢查到低分。最後再寫一個自訂函式 check 測試各種換牌張數的最高分。討論區裡有一種用數學計算的寫法，但我沒有認真推導數學關係式，就沒有寫了。

Python 程式碼

使用時間約為 10 ms，記憶體約為 3.4 MB，通過測試。

import sys, itertools

def flush(hand):  # 手牌是否為同花
    return all(card[1] == hand[0][1] for card in hand[1:])

def straight(hand):  # 手牌是否為順子
    nums = {'A': 14, '2': 2, '3': 3, '4': 4, '5': 5, '6': 6, '7': 7,
            '8': 8, '9':9, 'T': 10, 'J': 11, 'Q': 12, 'K': 13}  # 牌面數字
    flag1, flag2 = True, True  # 是否為 A, 2, 3, 4, 5，是否為其它號碼的順子
    if hand[-1][0] == 'A':  # 特例，最大的是 A，要檢查是否為 A, 2, 3, 4, 5
        pre = 1  # A 當作 1
        for card in hand[:-1]:
            curr = nums[card[0]]
            if curr != pre+1:
                flag1 = False
                break
            pre = curr
    else: flag1 = False  # 最大的不是 A，不可能是 A, 2, 3, 4, 5
    # 其它號碼的順子
    pre = nums[hand[0][0]]
    for card in hand[1:]:
        curr = nums[card[0]]
        if curr != pre+1:
            flag2 = False
            break
        pre = curr
    return flag1 or flag2

def straight_flush(hand):  # 手牌是否為同花順
    return flush(hand) and straight(hand)

def four_of_a_kind(hand):  # 手牌是否為鐵支
    cnt = dict()  # 計數器
    for card in hand:  # 依序讀取手牌數值
        n = card[0]
        if n not in cnt: cnt[n] = 1
        else: cnt[n] += 1
    return max(cnt.values()) == 4  # 如果某一種數值有 4 張，是鐵支

def full_house(hand):  # 手牌是否為葫蘆
    cnt = dict()  # 計數器
    for card in hand:  # 依序讀取手牌數值
        n = card[0]
        if n not in cnt: cnt[n] = 1
        else: cnt[n] += 1
    tmp = sorted(cnt.values())  # 牌面數量排序
    return len(tmp) == 2 and tmp[0] == 2 and tmp[1] == 3

def three_of_a_kind(hand):  # 手牌是否為三條
    cnt = dict()  # 計數器
    for card in hand:  # 依序讀取手牌數值
        n = card[0]
        if n not in cnt: cnt[n] = 1
        else: cnt[n] += 1
    tmp = sorted(cnt.values())  # 牌面數量排序
    return len(tmp) == 3 and tmp[0] == 1 and tmp[1] == 1 and tmp[2] == 3

def two_pairs(hand):  # 手牌是否為兩對
    cnt = dict()  # 計數器
    for card in hand:  # 依序讀取手牌數值
        n = card[0]
        if n not in cnt: cnt[n] = 1
        else: cnt[n] += 1
    tmp = sorted(cnt.values())  # 牌面數量排序
    return len(tmp) == 3 and tmp[0] == 1 and tmp[1] == 2 and tmp[2] == 2

def one_pair(hand):  # 手牌是否為一對
    cnt = dict()  # 計數器
    for card in hand:  # 依序讀取手牌數值
        n = card[0]
        if n not in cnt: cnt[n] = 1
        else: cnt[n] += 1
    tmp = sorted(cnt.values())  # 牌面數量排序
    return len(tmp) == 4 and tmp[0] == 1 and tmp[1] == 1 and tmp[2] == 1 and tmp[3] == 2

def check(hand):
    if straight_flush(hand): return 8
    if four_of_a_kind(hand): return 7
    if full_house(hand): return 6
    if flush(hand): return 5
    if straight(hand): return 4
    if three_of_a_kind(hand): return 3
    if two_pairs(hand): return 2
    if one_pair(hand): return 1
    return 0

def change(hand, deck):  # 輸入手牌、牌庫，依序檢查
    result = [[0, i] for i in range(6)]  # 從牌庫換 0 ~ 5 張牌可組成的最大組合，[組合, 換牌數量]
    result[0][0] = check(hand)
    # 換一張牌，測試換第一張 ~ 第五張的效果
    best = 0
    for i in range(5):
        tmp = hand[:i] + hand[i+1:] + [deck[0]]
        tmp.sort(key = lambda x : (nums[x[0]], shdc[x[1]]))
        best = max(best, check(tmp))
    result[1][0] = best
    # 換二張牌，測試換其中兩張牌的效果
    best = 0
    for i, j in itertools.combinations(range(5), 2):
        tmp = hand.copy()
        tmp.remove(hand[i])
        tmp.remove(hand[j])
        tmp += deck[:2]
        tmp.sort(key = lambda x : (nums[x[0]], shdc[x[1]]))
        best = max(best, check(tmp))
    result[2][0] = best
    # 換三張牌，測試換其中三張牌的效果
    best = 0
    for i, j, k in itertools.combinations(range(5), 3):
        tmp = hand.copy()
        tmp.remove(hand[i])
        tmp.remove(hand[j])
        tmp.remove(hand[k])
        tmp += deck[:3]
        tmp.sort(key = lambda x : (nums[x[0]], shdc[x[1]]))
        best = max(best, check(tmp))
    result[3][0] = best
    # 換四張牌，測試只留其中一張牌的效果
    best = 0
    for i in range(5):
        tmp = [hand[i]] + deck[:4]
        tmp.sort(key = lambda x : (nums[x[0]], shdc[x[1]]))
        best = max(best, check(tmp))
    result[4][0] = best
    # 全換
    result[5][0] = check(deck)
    result.sort(reverse=True)
    return result[0]

for line in sys.stdin:
    hand = line.split()[:5]
    deck = line.split()[5:]
    nums = {'A': 14, '2': 2, '3': 3, '4': 4, '5': 5, '6': 6, '7': 7,
            '8': 8, '9':9, 'T': 10, 'J': 11, 'Q': 12, 'K': 13}  # 牌面數字
    shdc = {'S': 0, 'H': 1, 'D': 2, 'C': 3}  # 花色
    comb = ("highest-card", "one-pair", "two-pairs", "three-of-a-kind", "straight",
            "flush", "full-house", "four-of-a-kind", "straight-flush")
    sorted_hand = sorted(hand, key = lambda x : (nums[x[0]], shdc[x[1]]))  # 數字、花色由小到大排序
    best_comb, change_cards = change(sorted_hand, deck)
    print("Hand: ", end="")
    print(*hand, end=" ")
    print("Deck: ", end="")
    print(*deck, end=" ")
    print(f"Best hand: {comb[best_comb]:s}")

ZeroJudge 解題筆記：c102. 00128 - Software CRC

作者：王一哲
日期：2026年3月4日


ZeroJudge 題目連結：c102. 00128 - Software CRC

解題想法

這題會用到字元的 ASCII 編碼，因為編碼為 0 到 255 的整數，可以用 1 個位元組 (byte)、8 個位元 (bit)、2 位數的 16 進位整數表示。題目的意思應該是將讀到的字串，逐一按照字元的 ASCII 編碼排成很長一列的 16 進位整數，最後再加上兩個 16 進位整數的 CRC 碼，讓這個很長的 16 進位整數可以被指定的 10 進位整數 34943 整除。題目要求的就是每一行測資對應的 CRC 碼。解題過程如下：

1. 假設字串對應的整數儲存於變數 m，從字串 s 最前面依序讀取字元 c，將 m 向左平移 8 位元之後加上 c 的 ASCII 編碼。為了避免 m 溢位，可以在每一次計算後對 g 取餘數。
2. 將 m 向左平移 16 位元，增加給 CRC 碼的空間，再對 g 取餘數 r。
3. 如果 r 等於 0，CRC 碼就是 0；反之，CRC 碼為 g-r。
4. 將 CRC 碼向右平移 8 位元再與 0XFF 取 &，可以得到第一個 byte 的值；將 CRC 碼與 0XFF 取 &，可以得到第二個 byte 的值。

Python 程式碼

使用時間約為 7 ms，記憶體約為 2.8 MB，通過測試。

import sys

def solve(s):
    g, m = 34943, 0  # 取餘數用的除數，字串編碼對應的整數
    for c in s:  # 依序讀取 s 的字元 c
        m = ((m << 8) + ord(c)) % g  # m 向左平移 8 位元後加上 c 的 ASCII 碼，再取餘數
    m <<= 16  # m 向左平移 16 位元，增加給 CRC 碼的空間
    r = m%g  # m 對 g 取餘數
    crc = 0  # CRC  碼預設為 0
    if r > 0: crc = g-r  # 如果 r 大於 0，CRC  碼改成 g-r
    byte1 = (crc >> 8) & 0xFF  # CRC  碼向右平移 8 位元，與 0xFF 取 &
    byte2 = crc & 0xFF  # CRC  碼與 0xFF 取 &
    print(f"{byte1:02X} {byte2:02X}")  # 將兩個位元組用 16 進位輸出

for line in sys.stdin:
    line = line.rstrip()
    if line == "#": break
    solve(line)

ZeroJudge 解題筆記：c098. 00106 - Fermat vs. Pythagoras

作者：王一哲
日期：2026年3月3日


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解題想法

這題困難之處在於找數學關係，不能用暴力法跑兩層迴圈，一定會超時。 畢氏三元組 (Pythagorean triples) 的定義為滿足 $x^2 + y^2 = z^2$ 的正整數為 $(x, y, z)$。原始畢氏三元組 (Primitive Pythagorean triples) 還要再加上 $x, y, z$ 互質的條件，也就是 $gcd(x, y, z) = 1$。需要用到的性質為 $$ x = m^2 - n^2, ~~~ y = 2mn, ~~~ z = m^2 + n^2 $$ 其中

• $m > n> 0$，且 $m, n$ 為整數。
• $m, n$ 互質，即 $gcd(m, n) = 1$
• $m - n$ 為奇數，即 $m, n$ 為一個奇數、一個偶數。

推導過程

直角三角形邊長 $x^2 + y^2 = z^2$，其中 $z$ 是斜邊。因為 $(x, y, z)$ 互質，不可能有 2 個以上的偶數，所以

• $x, z$ 是奇數
• $y$ 是偶數

假設 $y \equiv 2k$，其中 $k$ 為正整數，則 $$ x^2 + (2k)^2 = z^2 ~\Rightarrow~ x^2 + 4k^2 = z^2 ~\Rightarrow~ z^2 - x^2 = 4k^2 ~\Rightarrow~ (z+x)(z-x) = 4k^2 $$ 假設 $a = z-x, ~b = z+x$，因為 $z, x$ 是奇數，所以 $a, b$ 是偶數。假設 $a = 2p, ~b = 2q$，則 $$ 2p \cdot 2q = (2k)^2 ~\Rightarrow~ pq = k^2 $$ 因為 $x, z$ 互質，所以 $p, q$ 互質，為了符合 $pq = k^2$，$p, q$ 必須是平方數。 假設 $p = n^2,~ q = m^2$，由於 $$ a = z-x = 2p = 2n^2, ~~~ b = z+x = 2q = 2m^2 $$ 由 $a+b$ 可以解 $z$ $$ a+b = 2z ~\Rightarrow~ 2(m^2 + n^2) = 2z ~\Rightarrow~ z = m^2 + n^2 $$ $$ x = z - a = m^2 + n^2 - 2n^2 = m^2 - n^2 $$ $$ y = \sqrt{z^2 - x^2} = \sqrt{(m^2 + n^2)^2 - (m^2 - n^2)^2} = \sqrt{4m^2 n^2} = 2mn $$

Python 程式碼

使用時間約為 0.4 s，記憶體約為 60.5 MB，通過測試。

import sys, math

def solve(maxn):
    status = [False]*(maxn+1)  # 0 ~ maxn 是否為畢氏三元組
    coprime = [0]*(maxn+1)  # 0 ~ maxn 互質三元組數量前綴和
    """
     計算 0 ~ maxn 之間的原始畢氏三元組與所有畢氏三元組數量
     依序檢查 m = 2 ~ sqrt(maxn), n = 1 ~ m-1
     如果 m-n 是奇數，m, n 互質，則 x = m^2 - n^2, y = 2mn, z = m^2 + n^2
     為原始畢氏三元組，再將 (x, y, z) 乘以整數倍，找其它的畢氏三元組
    """
    for m in range(2, int(maxn**0.5) + 1):
        for n in range(1, m):
            if (m-n)%2 == 1 and math.gcd(m, n) == 1:
                x, y, z = m*m - n*n, 2*m*n, m*m + n*n
                if z > maxn: continue  # z 超過上限，找下一組
                coprime[z] += 1  # z 對應的原始畢氏三元組數量加 1
                k = 1  # 原始畢氏三元組的 k 倍，如果 k > 1 為不互質的三元組
                while k*z <= maxn:  # 如果 k*z 還沒有超過上限繼續執行
                    status[k*x], status[k*y], status[k*z] = True, True, True
                    k += 1
    # coprime 改成前綴和
    for i in range(1, maxn+1):
        coprime[i] += coprime[i-1]
    # 0 ~ maxn 之間非畢氏三元組的數量前綴和
    non_member = [0]*(maxn+1)
    cnt = 0
    for i in range(1, maxn+1):
        if not status[i]: cnt += 1
        non_member[i] = cnt
    sys.stdout.write(f"{coprime[maxn]:d} {non_member[maxn]:d}\n")

for line in sys.stdin:
    solve(int(line))

ZeroJudge 解題筆記：c096. 00700 - Date Bugs

作者：王一哲
日期：2026年3月2日


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解題想法

我只有想到最暴力的作法，用集合 ans 儲存所有第一部電腦所有可能的年份，再依序計算其它電腦可能的年份存入集合 cand，取 ans 與 cand 的交集更新 ans。如果最後 ans 有資料，答案是 ans 之中的最小值；反之則輸出 **Unknown bugs detected.**。這個寫法不快，但是容易操作。

Python 程式碼

暴力解，使用時間約為 23 ms，記憶體約為 6 MB，通過測試。

import sys

ca = 0
maxy = 10000  # 答案上限為 9999
for line in sys.stdin:
    if line.rstrip() == "0": break;
    ca += 1
    if ca > 1: print()  # 如果不是第一筆測資，先印出空行
    n = int(line)  # 電腦數量
    ans = set()  # 第 1 部電腦可能對應的年份
    yi, ai, bi = map(int, sys.stdin.readline().split())  # 顯示年份 yi，於 bi 年出問題，出問題之後回到 ai
    di = bi - ai  # 從 bi 回到 ai 的差值
    for i in range(0, maxy-yi, di): ans.add(yi+i) # 計算可能的年份差
    for _ in range(n-1):  # 讀取 n-1 行資料
        cand = set()  # 第 2 ~ n 部電腦可能對應的年份
        y, a, b = map(int, sys.stdin.readline().split())  # 顯示年份 y，於 b 年出問題，出問題之後回到 a
        d = b - a  # 從 b 回到 a 的差值
        for i in range(0, maxy-y, d): cand.add(y+i)  # 計算可能的年份差
        ans.intersection_update(cand)  # 更新 ans
    print(f"Case #{ca:d}:")
    if ans:  # 如果有交集，印出 ans 之中的最小值
        print(f"The actual year is {min(ans):d}.")
    else:  # 反之，印出 Unknown bugs detected.
        print("Unknown bugs detected.")

ZeroJudge 解題筆記：c094. 00661 - Blowing Fuses

作者：王一哲
日期：2026年3月1日


ZeroJudge 題目連結：c094. 00661 - Blowing Fuses

解題想法

用陣列記錄每個電器是否開啟，依序讀取操作的電器編號，更新電器使用狀態及總電流。用一個布林值記錄是否已經燒掉，如果總電流過大標記為 True。

Python 程式碼

使用時間約為 7 ms，記憶體約為 2.9 MB，通過測試。

import sys

ca = 0  # 第幾次測試
for line in sys.stdin:
    n, m, c = map(int, line.split())  # n 個電器，m 次操作，最大電流 c
    if n == 0 and m == 0 and c == 0: break  # 中止迴圈的條件
    ca += 1  # ca 加 1
    if ca > 1: print()  # 如果不是第 1 次測試，先印出空白列
    current = [0] + [int(sys.stdin.readline()) for _ in range(n)]  # 讀取 n 個電器的電流，開頭加 0
    blown = False  # 是否已燒掉
    curr, imax = 0, 0  # 目前的電流，電流最大值
    turn_on = [False]*(n+1)  # 電器狀態，預設為關閉
    for _ in range(m):  # 讀取 m 次操作
        idx = int(sys.stdin.readline())  # 電器編號
        if blown: continue  # 如果已燒掉，繼續讀完剩下的操作
        turn_on[idx] = not turn_on[idx]  # 更新電器的狀態
        if turn_on[idx]: curr += current[idx]  # 如果開啟，加上這個電器的電流
        else: curr -= current[idx]  # 如果關閉，減去這個電器的電流
        if curr > c: blown = True  # 如果 curr 大於 c，已燒掉
        else: imax = max(imax, curr)  # 反之，更新最大電流
    print(f"Sequence {ca:d}")  # 印出答案
    if blown:
        print("Fuse was blown.")
    else:
        print("Fuse was not blown.")
        print(f"Maximal power consumption was {imax:d} amperes.")