2010年2月18日 星期四

偏向角

我在解奧林匹亞初試1995年第一部分第7題時遇到問題，



那題要計算光線平行入射到頂角(\alpha)為4度的等腰稜鏡後，透射光與入射光的夾角是幾度。解答的公式為


偏向角 \delta = (n-1) \alpha




推導過程：
由光學下圖可知


\delta=\theta_{i1}+\theta_{t2}-\alpha        \alpha = \theta_{t1} + \theta_{i2}




再由Snell's law可知


\sin \theta_{i1}=n \sin \theta_{t1}        \sin \theta_{t2}=n \sin \theta_{i2}


因為此題的入射角 \theta_{i1}=\frac{\alpha}{2} = 2^{\circ} ，因此 \theta_{i1}、\theta_{t1}、\theta_{i2}、\theta_{t2} 皆很小，故

\sin \theta_{i1}=n \sin \theta_{t1} \Rightarrow \theta_{i1}=n \theta_{t1}
\sin \theta_{t2}=n \sin \theta_{i2} \Rightarrow \theta_{t2}=n \theta_{i2}


因此


\delta = \theta_{i1} + \theta_{t2} - \alpha = n (\theta_{t1} + \theta_{i2}) - \alpha = (n-1) \alpha




 


附註：如果頂角\alpha不是小角度時，其偏向角

\delta = \theta_{i1} + \sin^{-1}[(\sin \alpha)(n^2 -\sin^2 \theta_{i1})^{1/2} - \sin \theta_{i1} \cos \alpha] - \alpha


很難由本式直接得到\delta = (n-1) \alpha


 


附註2：數學式子的顯示似乎不太正常，用Firefox及IE應該只能看到原來的LaTeX編碼，目前只有當我用Google Chrome開啟才會正常顯示。


於

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