三角函數微分推導

作者：王一哲
日期：2019/4/12

由於高中物理課程中會用到三角函數微分，但是現行的數學教材中已經將這部分刪除，所以我將 $\sin x$ 及 $\cos x$ 對 $x$ 的微分推導過程整理在這篇文章中，希望對比較好學的同學能有一些幫助。

方法1：利用代數及極限運算

前置作業

由於三角函數微分的推導會用到以下兩個函數的極限值，需要先推導出來才行。
$$\lim_{x \rightarrow 0} \frac{\sin x}{x} = 1$$
$$\lim_{x \rightarrow 0} \frac{1 - \cos x}{x} = 0$$



請參考下圖，圖中的圓形半徑為 1，圓心角為 $x$，由於 $x$ 在第一象限中，所有的三角函數值皆為正值或零。





由 $\Delta \mathrm{OBD}$ 可得

$$\sin x = \frac{\overline{\mathrm{BD}}}{\overline{\mathrm{OB}}} ~\Rightarrow \overline{\mathrm{BD}} = \sin x$$

由 $\Delta \mathrm{OCA}$ 可得

$$\tan x = \frac{\overline{\mathrm{AC}}}{\overline{\mathrm{OA}}} ~\Rightarrow \overline{\mathrm{AC}} = \tan x$$

由圖中可以看出$\Delta \mathrm{OBA}$、扇形 $\mathrm{OBA}$、$\Delta \mathrm{OCA}$ 三者的面積關係

$$\Delta \mathrm{OBA} \leq 扇形 \mathrm{OBA} \leq \Delta \mathrm{OCA}$$

$$\frac{1}{2} \overline{\mathrm{OA}} \times \overline{\mathrm{BD}} \leq \frac{1}{2} \overline{\mathrm{OA}}^2 \times x \leq \frac{1}{2} \overline{\mathrm{OA}} \times \overline{\mathrm{AC}}$$

$$\sin x \leq x \leq \tan x$$

將上式同除以 $\sin x$ 可得

$$1 \leq \frac{x}{\sin x} \leq \frac{1}{\cos x}$$

取倒數

$$1 \geq \frac{\sin x}{x} \geq \cos x$$

當 $x \rightarrow 0$ 時，$\cos x \rightarrow 1$，因此

$$\lim_{x \rightarrow 0} \frac{\sin x}{x} = 1$$



$\frac{\sin x}{x}$的圖形



接下來推導

$$\lim_{x \rightarrow 0} \frac{1 - \cos x}{x} = 0$$

首先將分子、分母同乘以 $1 + \cos x$ 可得

$$\begin{align*}
\lim_{x \rightarrow 0} \frac{1 - \cos x}{x} &= \lim_{x \rightarrow 0} \frac{1 - \cos^2 x}{x(1 + \cos x)} \\
&= \lim_{x \rightarrow 0} \frac{\sin^2 x}{x(1 + \cos x)}\\
&= \lim_{x \rightarrow 0} \frac{\sin x}{x} \cdot \lim_{x \rightarrow 0} \frac{\sin x}{1 + \cos x}\\
&= 1 \cdot 0\\
&= 0
\end{align*}$$



$\frac{1- \cos x}{x}$的圖形

正弦

$$\begin{align*}
\frac{d}{dx} \sin x &= \lim_{\Delta x \rightarrow 0} \frac{\sin(x + \Delta x) - \sin x}{\Delta x} \\
&= \lim_{\Delta x \rightarrow 0} \frac{\sin x \cos(\Delta x) + \cos x \sin(\Delta x) - \sin x}{\Delta x}\\
&= \lim_{\Delta x \rightarrow 0} \frac{\sin x [ \cos(\Delta x) - 1] + \cos x \sin(\Delta x)}{\Delta x}\\
&= \sin x \left[ \lim_{\Delta x \rightarrow 0} \frac{ \cos(\Delta x) - 1}{\Delta x} \right] + \cos x \left[ \lim_{\Delta x \rightarrow 0} \frac{ \sin(\Delta x)}{\Delta x} \right]\\
&= \cos x
\end{align*}$$

餘弦

$$\begin{align*}
\frac{d}{dx} \cos x &= \lim_{\Delta x \rightarrow 0} \frac{\cos(x + \Delta x) - \cos x}{\Delta x} \\
&= \lim_{\Delta x \rightarrow 0} \frac{\cos x \cos(\Delta x) - \sin x \sin(\Delta x) - \cos x}{\Delta x}\\
&= \lim_{\Delta x \rightarrow 0} \frac{\cos x [ \cos(\Delta x) - 1] - \sin x \sin(\Delta x)}{\Delta x}\\
&= \cos x \left[ \lim_{\Delta x \rightarrow 0} \frac{ \cos(\Delta x) - 1}{\Delta x} \right] - \sin x \left[ \lim_{\Delta x \rightarrow 0} \frac{ \sin(\Delta x)}{\Delta x} \right]\\
&= -\sin x
\end{align*}$$

正切

$$\begin{align*}
\frac{d}{dx} \tan x &= \frac{d}{dx} \left(\frac{\sin x}{\cos x} \right)\\
&= \frac{1}{\cos x} \frac{d}{dx} \sin x + \sin x \frac{d}{dx} \left( \frac{1}{\cos x} \right)\\
&= 1 + \frac{\sin^2 x}{\cos^2 x}\\
&= \frac{1}{\cos^2 x}\\
&= \sec^2 x
\end{align*}$$

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方法2：利用圖形及面積

正弦

請參考下圖，圖中的圓形半徑為 1，$\angle \mathrm{BOD} = x$，$\angle \mathrm{COB} = \Delta x$。





由 $\Delta \mathrm{OBD}$ 可得

$$\sin x = \frac{\overline{\mathrm{BD}}}{\overline{\mathrm{OB}}} ~\Rightarrow \sin x = \overline{\mathrm{BD}}$$

由 $\Delta \mathrm{OCE}$ 可得

$$\sin (x + \Delta x) = \frac{\overline{\mathrm{CE}}}{\overline{\mathrm{OC}}} ~\Rightarrow \sin (x + \Delta x) = \overline{\mathrm{CE}}$$

因此

$$\sin (x + \Delta x) - \sin x = \overline{\mathrm{CE}} - \overline{\mathrm{BD}} = \overline{\mathrm{BF}}$$

由 $\Delta \mathrm{BCF}$ 可得

$$\overline{\mathrm{BF}} = \overline{\mathrm{BC}} \cos x$$

當 $\Delta x \rightarrow 0$ 時，$\overline{\mathrm{BC}} \approx 弧長\mathrm{BC} = \Delta x$

綜合以上條件可得

$$\frac{d}{dx} \sin x = \lim_{\Delta x \rightarrow 0} \frac{\sin(x + \Delta x) - \sin x}{\Delta x} = \lim_{\Delta x \rightarrow 0} \frac{\Delta x \cos x}{\Delta x} = \cos x$$

餘弦

參考上圖，由 $\Delta \mathrm{OBD}$ 可得

$$\cos x = \frac{\overline{\mathrm{OD}}}{\overline{\mathrm{OB}}} ~\Rightarrow \cos x = \overline{\mathrm{OD}}$$

由 $\Delta \mathrm{OCE}$ 可得

$$\cos (x + \Delta x) = \frac{\overline{\mathrm{OE}}}{\overline{\mathrm{OC}}} ~\Rightarrow \cos (x + \Delta x) = \overline{\mathrm{OE}}$$

因此

$$\cos (x + \Delta x) - \cos x = \overline{\mathrm{OE}} - \overline{\mathrm{OD}} = -\overline{\mathrm{CF}}$$

由 $\Delta \mathrm{BCF}$ 可得

$$\overline{\mathrm{CF}} = \overline{\mathrm{BC}} \sin x$$

當 $\Delta x \rightarrow 0$ 時，$\overline{\mathrm{BC}} \approx 弧長\mathrm{BC} = \Delta x$

綜合以上條件可得

$$\frac{d}{dx} \cos x = \lim_{\Delta x \rightarrow 0} \frac{\cos(x + \Delta x) - \cos x}{\Delta x} = \lim_{\Delta x \rightarrow 0} \frac{-\Delta x \sin x}{\Delta x} = -\sin x$$

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結語

這是目前找到的兩種推導方法，我比較喜歡第二種推導方法，圖形還是比算式更容易想像。

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