一維彈性碰撞次數與圓周率

作者：王一哲
日期：2019/8/14

前言

如下圖所示，假設在水平光滑桌面上有兩個木塊，右側紅色木塊的質量為$m_1$、初速度方向向左，左側綠色木塊的質量為$m_2$、原為靜止，且$m_1 = 100^n m_2$，最左側有固定的牆壁。若木塊之間、木塊與牆壁之間的碰撞皆為一維彈性碰撞，則碰撞次數與$n$的關係如下。

裝置示意圖

n	碰撞次數
1	31
2	314
3	3141
4	31415
5	314159

如果想要了解背後的原理請看這部影片 So why do colliding blocks compute pi? [1]，影片作者是3Blue1Brown。接下來我們拿之前寫過的〈一維彈性碰撞〉程式碼來修改，試著畫出這個現象。

使用 Python 產生聲音及繪製頻譜圖

作者：王一哲
日期：2019/8/13

前言

我在去年看到了啾啾鞋講解電話按鍵聲的影片 [1]，裡面用到的技術稱為雙音多頻訊號 (Dual-Tone Multi-Frequency, DTMF) [2]，各個按鍵對應的聲音頻率如下表所示

	1209 Hz	1336 Hz	1477 Hz	1633 Hz
697 Hz	1	2	3	A
770 Hz	4	5	6	B
852 Hz	7	8	9	C
941 Hz	*	0	#	D

另外也在 YouTube 上找到了成功大學數學系舒宇宸教授演講的影片 [3]，教授在演講時用 MATLAB 產生了上述表格中的聲音。既然用 MATLAB 可以做到，應該也可以用 Python 做到同樣的效果才對，於是我花了一天的時間研究了一下，找到以下的解決方案。

使用 numpy.genfromtxt 從文字檔中讀取資料

作者：王一哲
日期：2019/8/8




假設某人儲存資料時不是用csv檔，而是使用數量不一致的空格分格資料，我們將前一篇文章〈最接近直線〉的數據排列成底下這樣再儲存為文字檔data.txt。

index   x  errx   y     erry
    0   1.0  0.1      4.9   0.5
 1  2.0   0.1    6.9  0.5
2   3.0  0.1     9.0      0.5
  3   4.0    0.1  11.1   0.6
   4  5.0   0.1  13.2   0.6
 5  6.0   0.2    15.2     0.8
6 7.0 0.2  16.9    0.8
  7  8.0  0.2     18.9      0.8
 8    9.0   0.2  20.9   0.8
9   10.0  0.2   22.8    0.8

我絕對不會用這樣的格式儲存資料，但如果真的遇到這種狀況還是有辦法解決，只要使用numpy.genfromtxt即可，語法為

最接近直線

作者：王一哲
日期：2019/8/5

前言

物理科及化學科在處理實驗數據時，通常會先繪製 XY 散佈圖，如果資料點看起來有線性的關係，就要用最小平方法計算最接近直線的斜率和截距，再試著解釋斜率和截距的物理意義。但如果更講究一點，由於測量數據時本身就會有一定的不準量，最接近直線的斜率、截距也會有不準量，要用什麼方法才能很方便地算出這些數呢？

最接近直線公式

以下的公式是我從物理奧林匹亞培訓講義上抄來的。假設操縱變因（自變數）為$x$、不準量為$\Delta x$，測量的應變變因（應變數）為$y$、不準量為$\Delta y$，數據共有$n$組。則最接近直線

$$斜率 \quad a = \frac{\sum x \sum y - n \sum xy}{(\sum x)^2 - n \sum x^2}$$
$$截距 \quad b = \frac{\sum x \sum xy - \sum y \sum x^2}{(\sum x)^2 - n \sum x^2}$$
$$相關係數 \quad R = \frac{\sum x \sum y - n \sum xy}{\sqrt{\left[ (\sum x)^2 - n \sum x^2 \right] \left[ (\sum y)^2 - n \sum y^2 \right]}}$$

為了要計算斜率及截距的不準量，我們先定義下列的符號

$$\sigma_x = \sqrt{\frac{\sum (\Delta x)^2}{n}}$$
$$\sigma_y = \sqrt{\frac{\sum (\Delta y)^2}{n}}$$
$$\sigma = \sqrt{\sigma_y^2 + a^2 \sigma_x^2}$$

斜率與截距的不準量分別為

$$斜率的不準量 \quad \Delta a = \sqrt{\frac{n \sigma^2}{n \sum x^2 - (\sum x)^2}}$$
$$截距的不準量 \quad \Delta b = \sqrt{\frac{\sigma^2 \sum x^2}{n \sum x^2 - (\sum x)^2}}$$

如果要將$x$軸的不準量$\Delta x$加到$y$軸上，等效的$y$軸不準量計算方式為

$$\Delta y_{eff} = \sqrt{(\Delta x)^2 + (a \Delta y)^2}$$