使用工程計算機計算最接近直線

作者：王一哲
日期：2020/5/29

最接近直線

假設自變數為$x$、應變數為$y$、數據共有$n$組，則最接近直線

$$
斜率 \quad a = \frac{\sum x \sum y - n \sum xy}{(\sum x)^2 - n \sum x^2}
$$

$$
y軸截距 \quad b = \frac{\sum x \sum xy - \sum y \sum x^2}{(\sum x)^2 - n \sum x^2}
$$

$$
相關係數 \quad R = \frac{\sum x \sum y - n \sum xy}{\sqrt{\left[ (\sum x)^2 - n \sum x^2 \right] \left[ (\sum y)^2 - n \sum y^2 \right]}}
$$

國家考試規格工程計算機

如果使用國家考試指定的工程計算機型號，例如 CA-01 (CASIO fx-82SX)、CA-20 (CASIO fx-82SOLAR II)、EM-25 (E-MORE fx-330S) ，沒有辦法直接計算線性擬合的方程式，必須分為幾個步驟處理。

CASIO fx-82SX

CASIO fx-82SOLAR II

E-MORE fx-330S

統計模式

以下的輸入方法皆以 E-MORE fx-330S 為例，各種不同廠牌、型號的計算機輸入方法大同小異。假設數據為

x	y
2	0.4
4	4.6
6	6.1
8	11.2
10	11.9
12	17.2

需要先計算 xy 值

x	y	xy
2	0.4	0.8
4	4.6	18.4
6	6.1	36.6
8	11.2	89.6
10	11.9	119
12	17.2	206.4

接下來將計算機切換到統計模式，基本上是依序按下
$$
\mathrm{mode} ~~~.
$$

切換後螢幕右上角顯示 SD，如果要切換回普通模式，要依序按下
$$
\mathrm{mode} ~~~0
$$

接著在統計模式下輸入x軸資料，依序按下

$$
\mathrm{shift} ~~~\mathrm{SAC}
$$

再輸入資料

$$
2 ~~~\mathrm{DATA} ~~~4 ~~~\mathrm{DATA} ~~~6 ~~~\mathrm{DATA}
$$
$$
8 ~~~\mathrm{DATA} ~~~10 ~~~\mathrm{DATA} ~~~12 ~~~\mathrm{DATA}
$$

如果要連續輸入兩筆同樣的資料，則在按完數值後連按兩次 DATA 即可。輸入完資料後，計算機可以計算以下的項目

項目	輸入	螢幕顯示
平均值	$\mathrm{shift} ~\bar x$	7
母體標準差	$\mathrm{shift} ~\sigma_n$	3.415650255
樣本標準差	$\mathrm{shift} ~\sigma_{n-1}$	3.741657387
平方加總	$\mathrm{shift} ~\sum x^2$	364
加總	$\mathrm{shift} ~\sum x$	42
資料數量	$\mathrm{shift} ~n$	6

再用同樣的方式輸入y軸資料，依序按下

$$
\mathrm{shift} ~~~\mathrm{SAC}
$$

再輸入資料

$$
0.4 ~~~\mathrm{DATA} ~~~4.6 ~~~\mathrm{DATA} ~~~6.1 ~~~\mathrm{DATA}
$$
$$
11.2 ~~~\mathrm{DATA} ~~~11.9 ~~~\mathrm{DATA} ~~~17.2 ~~~\mathrm{DATA}
$$

輸入完資料後，計算機可以計算以下的項目

項目	輸入	螢幕顯示
平均值	$\mathrm{shift} ~\bar x$	8.566666667
母體標準差	$\mathrm{shift} ~\sigma_n$	5.493834929
樣本標準差	$\mathrm{shift} ~\sigma_{n-1}$	6.018194635
平方加總	$\mathrm{shift} ~\sum x^2$	621.42
加總	$\mathrm{shift} ~\sum x$	51.4
資料數量	$\mathrm{shift} ~n$	6

再用同樣的方式輸入xy資料，依序按下

$$
\mathrm{shift} ~~~\mathrm{SAC}
$$

再輸入資料

$$
0.8 ~~~\mathrm{DATA} ~~~18.4 ~~~\mathrm{DATA} ~~~36.6 ~~~\mathrm{DATA}
$$
$$
89.6 ~~~\mathrm{DATA} ~~~119 ~~~\mathrm{DATA} ~~~206.4 ~~~\mathrm{DATA}
$$

輸入完資料後，計算機可以計算以下的項目

項目	輸入	螢幕顯示
平均值	$\mathrm{shift} ~\bar x$	78.4666667
母體標準差	$\mathrm{shift} ~\sigma_n$	70.15075829
樣本標準差	$\mathrm{shift} ~\sigma_{n-1}$	76.84630548
平方加總	$\mathrm{shift} ~\sum x^2$	66468.88
加總	$\mathrm{shift} ~\sum x$	470.8
資料數量	$\mathrm{shift} ~n$	6

計算最接近直線

計算最接近直線的斜率及縱軸截距需要用到的項目為

• 資料數量 $n = 6$
• x 軸資料加總 $\sum x = 42$
• x 軸資料平方加總 $\sum x^2 = 364$
• y 軸資料加總 $\sum y = 51.4$
• y 軸資料平方加總 $\sum y^2 = 621.42$
• xy 資料加總 $\sum xy = 470.8$

計算斜率

步驟	輸入	螢幕顯示
1	$42 ~\times~ 51.4 ~=$	2158.8
2	$-~ 6 ~\times~ 470.8 ~=$	-666
3	$\div ~(~ ~42 ~~\mathrm{shift} ~x^2$	1764
4	$~-~ 6 ~\times~ 364 ~)$	-420
5	$=$	1.585714286

計算縱軸截距

步驟	輸入	螢幕顯示
1	$42 ~\times~ 470.8 ~=$	19773.6
2	$-~ 51.4 ~\times~ 364 ~=$	1064
3	$\div ~(~ ~42 ~~\mathrm{shift} ~x^2$	1764
4	$~-~ 6 ~\times~ 364 ~)$	-420
5	$=$	-2.533333333

計算$R^2$

步驟	輸入	螢幕顯示
1	$42 ~\times~ 51.4 ~=$	2158.5
2	$-~ 6 ~\times~ 470.8 ~=$	-666
3	$\mathrm{AC}$	0
4	$42 ~~\mathrm{shift} ~x^2$	1764
5	$~-~ 6 ~\times~ 364 ~=$	-420
6	$\times~ ~(~ 51.4 ~~\mathrm{shift} ~x^2$	2641.96
7	$-~ 6 ~\times~ 621.42 ~)$	-1086.56
8	$=$	456355.2
9	$\sqrt{}$	675.5406724
10	$\mathrm{shift} ~ 1/x$	0.001480295
11	$\times ~666$	0.985876983
12	$\mathrm{shift} ~x^2$	0.971953425

使用試算表軟體得到的線性擬合結果為

$$
斜率 = 1.585714
$$

$$
縱軸截距 = -2.533333
$$

$$
R^2 = 0.971953
$$

計算結果相符。

參考資料

1. 國家考試指定的工程計算機型號 https://wwwc.moex.gov.tw/main/content/wHandMenuFile.ashx?file_id=1916
2. CASIO fx-82SOLAR II 說明書 https://support.casio.com/storage/tw/manual/pdf/TW/004/fx-82SOLAR_II_TW.pdf

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HackMD 版本連結：https://hackmd.io/@yizhewang/HJklFgCo8