一個地球人在臺北: 圓的漸開線

作者：王一哲
日期：2021/2/5

原理

漸開線的英文為 involute 或 evolute。假設B為圓周上的點，B點繞圓心O旋轉的弧長為L，在過B點的切線上有一個P點，BP的距離等於 L，則P點的軌跡為圓的漸開線，圓的漸開線常用來作為齒輪邊緣的形狀。若使用參數式則為 $$ x = a (\cos t + t \sin t) $$ $$ y = a (\sin t - t \cos t) $$ 以下是使用 GeoGebra 繪製圓的漸開線成果。

使用 GeoGebra 繪製圓的漸開線動畫

繪圖步驟

輸入指令設定半徑r、角速度ω、週期T。
```
r = 1
ω = 1
T = 2*π/ω
```
輸入指令設定控制時間 t 的數值拉桿，再開啟屬性選單，將動畫設定為**遞增（一次）**。
```
t = Slider(0, 2*T, 0.01*T)
```
輸入指令畫出圓心O點以及半徑為r的圓形c。
```
O = Point({0, 0})
c = Circle(O, r)
```

繪圖步驟1 ~ 3

使用點工具於圓形c上新增點A，再將點A拉到圓形c的左方。
輸入指令畫出繞著O點順時鐘方向旋轉的B點，再隱藏點A。
```
B = Rotate(A, -ω t, O)
```

繪圖步驟4、5

輸入指令計算B點繞著O點旋轉的弧長 arclen。
```
arclen = r*ω*t
```
輸入指令新增射線OB並命名為f。
```
f = Ray(O, B)
```
輸入指令新增通過B點的切線g。
```
g = Tangent(B, c)
```
使用點工具於切線g上、B點的下方新增C點。

繪圖步驟6 ～ 9

輸入指令新增通過B、C點的向量u，計算向量u的單位向量direct。
```
u = Vector(B, c)
direct = u / Length(u)
```
輸入指令將B向沿著向量direct的方向平移距離arclen，平移後的點命名為P。
```
P = Translate(B, direct*arclen)
```
顯示移動P點的移動軌跡。
```
SetTrace(P, True)
```
輸入指令通過B、P點的射線h。
```
h = Ray(B, C)
```

繪圖步10 ~ 13

輸入指令用參數式畫出圓的漸開線，由於t已經被用來表示時間，故參數式中改用t1。
```
theory = Curve((-r*(cos(t1) + t1*sin(t1)), r*(sin(t1) - t1*cos(t1))), t1, 0, 4*π)
```

使用 GeoGebra 繪製圓的漸開線動畫

一個地球人在臺北

2021年2月5日星期五

圓的漸開線

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