一維彈性碰撞

作者：王一哲
日期：2018/4/29




一維彈性碰撞是基礎物理2B下最後一章的內容。假設在水平光滑桌面上有兩個小球，質量分別為 $m_1$ 及 $m_2$，速度分別為 $v_1$ 及 $v_2$，由於兩個小球的碰撞過程不受外力，系統動量守恆；若碰撞過程沒有能量損失，則碰撞前、後兩小球的總動能相等；由以上兩個條件可以導出小球碰撞前後的速度關係式為

$$ v_1' = \frac{m_1 - m_2}{m_1 + m_2} v_1 + \frac{2m_2}{m_1 + m_2} v_2 $$

$$ v_2' = \frac{2m_1}{m_1 + m_2} v_1 + \frac{m_2 - m_1}{m_1 + m_2} v_2 $$

一維彈性碰撞的過程

以下共有兩個程式，第一個是直接代撞後速度公式，第二個則是在木塊間加上理想彈簧作為緩衝，畫出完整的碰撞過程。

程式15-1畫面截圖

程式15-2畫面截圖

雙重簡諧運動

作者：王一哲
日期：2018/4/26




假設在光滑水平桌面上有兩個小球，質量分別為 m1 及 m2，用一條彈力常數為 k 的理想彈簧連結。若施力敲擊其中一個小球，使小球獲得動量，則整個系統會以類似毛毛蟲爬行的方式前進。我以前看到的動畫是用 Mathematica 製作的，這次我們改用 VPython 達成同樣的效果。

模擬程式畫面截圖

相疊木塊

作者：王一哲
日期：2018/4/22




這是會出現在基礎物理2B下的例題，出現的章節甚至橫跨動量守恆、功與能量、碰撞等三章，題目敘述如下：

木塊A質量為 $2m$、木塊B質量為 $m$，兩個木塊相疊，桌面與木塊A之間沒有摩擦力，A的初速度為 $v$。兩個木塊之間的動摩擦係數為 $\mu_k$，若A的長度夠長，A、B最後能以相同的速度前進，請問：(1) A、B的末速為何？ (2) 經過多久之後兩者速度相同。

兩木塊相疊示意圖

題目有兩種版本，第一種是像上圖的版本，木塊B的初位置在木塊A的最右側且原為靜止，木塊A的初速度向右；第二種則是木塊B的初位置在木塊A的最左側且初速度向右，木塊A原為靜止。這次的目標是將運動過程中木塊A、B的速度 - 時間關係圖、能量 - 時間關係圖畫出來。

模擬程式畫面截圖

行星運動

作者：王一哲
日期：2018/4/18




克卜勒行星運動定侓(Kepler’s laws of planetary motion)共有以下3條：

1. 第一定律（軌道定律）：所有行星繞太陽公轉的穩定軌道為橢圓形，太陽在其中一個焦點上。
2. 第二定律（等面積速率定律）：行星與太陽連線於單位時間內掃過的面積相等。
3. 第三定律（週期定律）：所有繞太陽公轉的行星，公轉週期平方分之平均軌道半徑的三次方等於定律。

我們知道第一定律是因為太陽與恆星之間只有重力作用，依照萬有引力定律可以證明只有橢圓是穩定軌道。第二定律則是因為重力通過太陽，所以行星相對於太陽的角動量守恆，因此行星與太陽連線於單位時間內掃過的面積相等。第三定律則可以用有引力定律當作向心力推導出來。如果配合太陽系星球的真實數據，應該可以將這三個定律畫出來。

用 ejs 自製的行星運動定律動畫

重力及簡諧

作者：王一哲
日期：2018/4/15




這是在高二下的課程當中一定會出現卻又很抽象的題目：

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在外太空有兩個質量為 $M$ 的星球，星球質量均勻分布且位置固定，兩星球的球星距離為 $2d$，在中垂線上距離 $x$ 處有一個質量為 $m$ 的質點。若質點原為靜止，若只考慮重力的作用，當 $x \ll d$ 時，求 $m$ 運動的週期為何？

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解析：

先對 $m$ 畫力圖，則 $m$ 所受合力

$$ F_x = -\frac{2GMmx}{(d^2 + x^2)^{\frac{3}{2}}} \approx -\frac{2GMm}{d^3} x = -kx $$

$$ T = 2\pi \sqrt{\frac{m}{k}} = 2\pi \sqrt{\frac{d^3}{2GM}}$$

m 的力圖

m 所受合力與距離 x 的關係圖 (0 ≤ x ≤ 100)

木塊彈簧系統分離

作者：王一哲
日期：2018/4/5




我們在上課時，經常用水平光滑桌面上的木塊彈簧系統分離過程說明動量守恆定律，但是幾乎所有的課本、講義都只看開始、結束時兩個木塊的速度與質量的關係，很少有書把分離過程中各個物理量與時間的關係圖畫出來，即使有畫圖大概也是憑感覺畫，所以我們希望藉由 VPython 把運動過程畫出來。我們希望藉由動畫看出以下3點：

1. 分離過程中系統力學能守恆。
2. 分離過程中系統動量守恆，也就是木塊的速度量值與質量成反比。
3. 分離過程中木塊的加速度量值與質量成反比。

木塊彈簧系統分離畫面截圖

單擺

作者：王一哲
日期：2018/4/5




將小球用一條理想的繩子懸掛在天花板底下，若繩子與鉛垂線的夾角（擺角）為 $\theta_0$，小球由靜止釋放。當擺角為 $\theta$ 時，小球受到重力及繩子張力的作用，相對於懸掛點產生的力矩為

$$ \vec \tau = \vec r \times \vec F ~\Rightarrow~ \tau = -rF \sin \theta $$

$$ \tau = I \alpha ~\Rightarrow~ -rF \sin \theta = mr^2 \frac{d^2 \theta}{dt^2} $$

由於上式中 $\tau$ 與 $\theta$ 的方向相反，需要加上負號。若 $r = L$，$F = mg$，當 $\theta < 5^{\circ}$ 時， $\sin \theta \approx \theta$，可以解出 $$ \theta (t) = \theta_0 \cos \left(\sqrt{\frac{g}{L}} t \right) $$ 週期為 $$ T = 2 \pi \sqrt{\frac{L}{g}} $$


以下共有2個程式：

1. 理想的單擺，改變起始的擺角計算運動過程及週期。　（GlowScript 網站動畫連結）
2. 考慮空氣阻力的單擺。　（GlowScript 網站動畫連結）

單擺畫面截圖

簡諧運動

作者：王一哲
日期：2018/4/5




在水平光滑桌面上有一個木塊質量為 m，用一條彈性係數為 k 的彈簧連接到左側的牆壁上，若將木塊向右拉一段距離 R 再由靜止釋放，木塊所受合力與加速度的關係為

$$ F = -kx = ma ~\Rightarrow -kx = m \frac{d^2 x}{dt^2} $$

此時木塊的運動方式稱為簡諧運動(simple harmonic motion, S.H.M.)，由上式可以解出

$$ x(t) = R \cos (\omega t + \phi) $$

$$ v(t) = -\omega R \sin (\omega t + \phi) $$

$$ a(t) = -\omega^2 R \cos (\omega t + \phi) $$

上式中 $\omega$ 為角頻率

$$ \omega = \sqrt{\frac{k}{m}} $$

週期為

$$ T = 2\pi \sqrt{\frac{m}{k}} $$

理論上我們只要在 VPython 中設定好木塊所受的彈簧回復力與木塊離開平衡點位置的關係，應該就能畫出簡諧運動的過程與週期。以下共有2個程式：

1. 理想的簡諧運動。　（GlowScript 網站動畫連結）
2. 考慮阻尼(damping)的簡諧運動。　（GlowScript 網站動畫連結）

圓周運動

作者：王一哲
日期：2018/4/4




如果一個小球的質量為 m，速度為 v，轉彎時的曲率半徑為 R，則轉彎需要的向心加速度與向心力分別為

$$ F_c = ma_c = m \cdot \frac{v^2}{R} $$

也就是說，如果想要用 VPython 畫出小球在水平面上做等速率圓周運動，我們需要想辦法計算向心加速度的大小與方向。如果成功地畫出水平面上的等速率圓周運動，也許就可以進一步挑戰鉛直面圓周運動。以下共有3個程式：

1. 只畫出小球的等速率圓周運動。　（GlowScript 網站動畫連結）
2. 畫出小球、繩子、轉軸的等速率圓周運動。　（GlowScript 網站動畫連結）
3. 鉛直面圓周運動，畫出速率、切線加速度、法線加速度與時間的關係圖，計算週期。　（GlowScript 網站動畫連結）