一個地球人在臺北: 2018/05

2018年5月14日星期一

電流的磁效應

作者：王一哲
日期：2018/5/14

選修物理下第8章電流的磁效應會介紹必歐 - 沙伐定律 (Biot–Savart law)，用來計算一小段載流導線於空間中某處產生的磁場，方程式為

$$ d \vec B = \frac{\mu_0}{4\pi} \frac{I d \vec L \times \hat r}{r^2} ~\Rightarrow~ dB = \frac{\mu_0}{4\pi} \frac{I dL \sin \theta}{r^2} $$

利用必歐 - 沙伐定律可以算出長直載流導線垂直距離 r 處的磁場量值為

$$ B = \frac{\mu_0 I}{2 \pi r} $$

半徑為 r 的載流線圈圓心處的磁場量值為

$$ B = \frac{\mu_0 I}{2 r} $$

單位長度中有 n 匝線圈的的載流螺線管中心處的磁場量值為

$$ B = \mu_0 nI $$

磁場應該是分布在空間中的，但是書上的圖卻都是平面的，因此我想要藉由 VPython 將空間中的磁場強度、方向畫出來，成果如下圖。

載流螺線管產生的磁場示意圖

2018年5月13日星期日

拉塞福散射

作者：王一哲
日期：2018/5/13

拉塞福散射 (Rutherford scattering) 實驗是找到原子核存在的重要證據。將 α 粒子（氦原子核）射向金箔，α 粒子與金原子核之間的靜電力為排斥力，若忽略重力的作用，由於金原子核固定不動，α 粒子所受靜電力通過金原子核，相對於金原子核的角動量守恆。α 粒子與金原子核之間只有靜電力作功，系統力學能守恆。

下圖為拉塞福散射實驗示意圖，當 α 粒子於無窮遠處時速度向右，金原子核與速度方向之間的垂直距離稱為碰撞參數，通常代號為 b。這次的程式目標是改變 b，畫出 α 粒子動能、系統電位能、力學能與時間的關係圖，找出 α 粒子向上偏移的量值。

拉塞福散射實驗示意圖

質譜儀

作者：王一哲
日期：2018/5/13

有5種粒子以相同之速度垂直進入均勻磁場B，其軌跡如下圖所示。設此5種粒子為：碳原子(12^C)、氧離子(¹⁶O^2-)、鈉離子(²³Na⁺)、鎂離子(²⁴Mg²⁺)及氯離子(³⁵Cl^-)。若不考慮重力因素，則圖中1、2、3、4及5之示意軌跡分別代表何者？

粒子在質譜儀中運動軌跡示意圖

這是84年日大聯招的題目，雖然年代已經很久遠，但在坊間各家的參考書中仍然可以找到這個題目。當粒子向上進入磁場時，帶正電粒子所受的磁力向左，帶負電粒子所受的磁力向右，電中性的粒子沒有受到磁力。若以磁力當作向心力，在磁場中做等速率圓周運動，則

$$ qvB = m \cdot \frac{v^2}{R} ~\Rightarrow~ R = \frac{mv}{qB} \propto \frac{m}{q} $$

因此本題的答案為²³Na⁺、²⁴Mg²⁺、12^C、¹⁶O^2-、³⁵Cl^-。這次我們要試著用 VPython 將粒子在質譜儀中的運動過程畫出來。

2018年5月12日星期六

帶電粒子在磁場中的運動

作者：王一哲
日期：2018/5/12

帶電粒子在均勻磁場中所受磁力為

$$ \vec F_B = q(\vec v \times \vec B) ~\Rightarrow~ F_B = qvB \sin \theta $$

其中 $q$ 為粒子電量、$v_0$ 為粒子速度、$B$ 為外加磁場。可能的運動方式有3種：

$\theta = 0^{\circ}$ 或 $180^{\circ}$ ： $F_B = 0$，等速度直線運動
$\theta = 90^{\circ}$ ：$F_B = qvB$，等速率圓周運動
其它角度：螺線運動，一邊繞圓圈一邊前進

這次的目標就是畫出這3種運動狀態，而且動畫視窗的視角會自動隨著速度與磁場的夾角轉至方便觀察的方向。

螺線運動示意圖

黎曼和題目

日期：2018/5/12

這是昨天學生問我的題目，雖然我不太清楚他們為什麼會問物理老師數學問題，也許是當時找不到數學老師。因為我很久沒有複習高中數學，其實當時並沒有想出來，後來才發現那其實是黎曼和的題目，於是我用 GeoGebra 做了以下的檔案（連結在此）

　　對於這樣的題目也可以寫程式去跑，雖然這樣有點暴力，但當作是驗算也不錯。我將 n 設定為 100000000，用 python 算出來的結果是 16.25000009500000，用 c 算出來的結果是 16.25000009500101，都很接近理論值 16.25，至於兩種程式語言算出來的結果為什會不一樣，這部分我就沒有深入研究。雖然數值很接近，但運算速度上差異很大，python 需要跑大約 4 分鐘，c 只需要 2.078 秒，這樣就不難理解為什麼有些人不喜歡用 python 跑大量的數運算。

python 程式碼

n = 1000000

total = 0

for i in range(1, n+1):

total += (2*n + i)**3

print("{0:.14f}".format(total/n**4))

c 程式碼

#include <stdlib.h>

#include <stdio.h>

int main(void) {

int i;

double n = 100000000.0;

double total = 0.0;

double result = 0.0;

for(i = 1; i <= n; i++) {

total += (2*n + (double)i)*(2*n + (double)i)*(2*n + (double)i);

}

result = total / (n*n*n*n);

printf("result = %.14f", result);

return 0;

}

電子荷質比

作者：王一哲
日期：2018/5/12

測量電子荷質比的實驗裝置圖如下，外觀與速度選擇器十分相似，因此我們將〈速度選擇器〉的程式稍微修改一下，就能夠做出電子荷質比實驗的動畫。　（GlowScript 網站動畫連結）

實驗裝置示意圖

理論分析

請參考上圖，粒子質量為 $m$、電量為 $-q$，以向右的水平速度 $v_0$ 進入向下的均勻電場 $E$，平行帶電板的長度為 $L$，平行帶電板右側與屏幕間的距離為 $D$。若只考慮靜電力的作用，粒子在電場的加速度向上為

$$ a = \frac{qE}{m} $$

水平方向沒有外力，等速度前進，因此在電場中運動的時間為

$$ t_1 = \frac{L}{v_0} $$

向上的位移為

$$ y_1 = \frac{1}{2}at^2 = \frac{1}{2} \cdot \frac{qE}{m} \cdot \left( \frac{L}{v_0} \right)^2 = \frac{qEL^2}{2mv_0^2} $$

粒子在離開電場時向上的速度為

$$ v_y = at_1 = \frac{qE}{m} \cdot \frac{L}{v_0} = \frac{qEL}{mv_0} $$

粒子在電場外不受外力，為等速度直線運動，在電場外運動的時間為

$$ t_2 = \frac{D}{v_0} $$

向上的位移

$$ y_2 = v_y t_2 = \frac{qEL}{mv_0} \cdot \frac{D}{v_0} = \frac{qELD}{mv_0^2} $$

向上的位移總和為

$$ y = y_1 + y_2 = \frac{qEL^2}{2mv_0^2} + \frac{qELD}{mv_0^2} = \frac{qEL}{2mv_0^2}(L+2D) $$

帶電粒子的荷質比為

$$ \frac{q}{m} = \frac{2yv_0^2}{EL(L+2D)} $$

電場量值可由平行帶電板的電壓與距離求得，粒子初速度 \$v_0 \$ 可以由速度選擇器控制，因此實驗中除了荷質比之外的數據都是可以測量的。

2018年5月11日星期五

速度選擇器

作者：王一哲
日期：2018/5/10

速度選擇器是用來篩選具有特定速度帶電粒子的裝置，基本的構造如下圖。用兩塊平行帶電板製造向下的電場，再加上垂直射入紙面的磁場，若帶正電的粒子由左側以水平速度 v 進入速度選擇器，粒子會受到向下的靜電力以及向上的磁力，當合力為零時粒子等速度前進，此時

$$ qE = qvB ~\Rightarrow~ v = \frac{E}{B} = \frac{V}{Bd} $$

如果在右側加上只有一個小孔的擋板，只有向右直線前進的粒子可以通過，就可以藉由改變電場、磁場的量值控制通過裝置的粒子速度量值。以下共有兩個程式：

程式20-1：畫電場、磁場、平行帶電板、粒子運動軌跡出來，粒子撞到平行帶電板後停止運動。
程式20-2：以20-1為基礎，於出口處加上擋板。

速度選擇器構造示意圖

2018年5月10日星期四

靜電力及簡諧

作者：王一哲
日期：2018/5/9

我們之前在〈重力及簡諧〉當中處理過重力造成的簡諧運動，當我們學到靜電力時會發現庫侖定律和萬有引力定律的型式很像，因此靜電力應該也能產生相同的運動模式。以下有 3 個不同的程式：

19-1. 兩個固定的帶電球體，可移動的帶電球體放置在連心線中點右側　（GlowScript 網站動畫連結）
19-2. 兩個固定的帶電球體，可移動的帶電球體放置在中垂線上方　（GlowScript 網站動畫連結）
19-3. 將 19-2 中的帶電球體改為圓環，可移動的帶電球體放置在中垂線上方　（GlowScript 網站動畫連結）

程式 19-1

理論推導

如下圖所示，有兩個電量為 $+Q$ 的點電荷，兩者位置固定、距離為 $2d$，在連心線上中央偏左側距離 $x$ 處，有一個電量為 $+q$、質量為 $m$ 的點電荷。

若 $+q$ 點電荷在此處的速度為0， $x \ll d$，只考慮物體間靜電力的作用，則 $+q$ 所受合力方向向右，量值為

$$ \begin{align*}
F &= \frac{kQq}{(d-x)^2} - \frac{kQq}{(d+x)^2} \\
&= kQq \left[ \frac{(d+x)^2 - (d-x)^2}{(d-x)^2 (d+x)^2} \right ]\\
&= kQq \left[ \frac{4dx}{d^4 \left(1 - \frac{x}{d} \right)^2 \left(1 + \frac{x}{d} \right)^2} \right ]\\
&\approx \frac{4kQq}{d^3} \cdot x = Kx
\end{align*} $$

因此 $+q$ 做簡諧運動，週期

$$ T = 2 \pi \sqrt{\frac{m}{k}} = 2 \pi \sqrt{\frac{md^3}{4kQq}} = \pi \sqrt{\frac{md^3}{kQq}} $$

下圖是以 $Q = q = 2 \times 10^4 ~\mathrm{C}$ 繪製的靜電力F-距離x關係圖，由圖中可以看出當x很小時， $F \propto x$，且斜率約等於 1.5，與理論值相符。

靜電力F-距離x關係圖 (0 ≤ x ≤ 9)

靜電力F-距離x關係圖 (0 ≤ x ≤ 4)

2018年5月7日星期一

重力場及電場

作者：王一哲
日期：2018/5/7

若在空間中有一個質量為 $M$ 且質量均勻分布的球體，若以 $M$ 的球心為原點，在空間中位置向量為 $M$ 處的重力場為

$$ \vec g = - \frac{GM}{r^2} \hat r $$

上式中的負號帶表重力場方向指向球心。若有多個球體，第 $i$ 個球體質量為 $M_i$、球心位置為 $r_i$，則重力場為

$$ \vec g = \sum \vec g_i = - G \sum \frac{M_i}{(\vec r - \vec r_i)^2} \frac{\vec r - \vec r_i}{|\vec r - \vec r_i|} $$

如果要在黑板上畫出各個位置的重力場強度及方向，這幾乎是不可能的任務，下圖是我畫出來的地球重力場示意圖

地球重力場示意圖

在以下的課程中，我們想要在空間每隔一段距離取一個點，以箭頭的長度及方向來表示該點的重力場。因此我們在程式 18-1 中先練習使用 for 迴圈，在空間中每隔一段距離畫一個箭頭。在程式 18-2 中除了畫出箭頭還要計算此處的重力場，再更新箭頭的長度及方向。如果能夠成功畫出一個球體的重力場，在程式 18-3 中則更進一步地畫出兩個球體，甚至是多個球體建立的重力場。

在畫完重力場之後，我們可以用相同的方法畫出帶電球體在空間中建立的電場，其數學型式為

$$ \vec E = \sum \vec E_i = k \sum \frac{Q_i}{(\vec r - \vec r_i)^2} \frac{\vec r - \vec r_i}{|\vec r - \vec r_i|} $$

我們只要稍微修改程式 18-3 就能畫出兩個帶電球體在空間中建立的電場。

2018年5月6日星期日

三維彈性碰撞

作者：王一哲
日期：2018/5/6

這個程式主要是參考臺大物理系石明豐教授的講義〈VPhysics大一課程：碰撞〉，但是將其中的程式碼改寫成 python 3.X 版的格式。在寫好這個程式之後，可以將它用來模擬理想氣體分子之間的碰撞，作出分子數量 - 速率分布圖，但由於這個程式較為複雜，請參考 VPython 範例程式 "A hard-sphere gas"。

以下共有兩個程式

17-1 兩球質量相等　（GlowScript 網站動畫連結）
17-2 可以分別設定兩球質量　（GlowScript 網站動畫連結）

17-1 模擬程式畫面截圖

17-2 模擬程式畫面截圖

2018年5月5日星期六

自由落下兩球碰撞

作者：王一哲
日期：2018/5/5

若將兩個彈性極佳的球上下疊放，且下方的球質量較大，將兩球從某個高度釋放，兩球受到重力的作用由靜止開始向下加速，當下方的球撞到地面反彈後會發生什麼事？在 YouTube 上有相當多實驗影片，例如 "Stacked Ball Drop" 。我們可以利用之前寫好的〈自由落下〉及〈一維彈性碰撞〉模擬程式來處理這個問題。

以下共有兩個程式，16-1 有兩個球，16-2 改為三個球。其實可以讓畫只執行到最上方的球飛出去之後就停止，因為在真實的情境下很難讓最上方的球被撞擊後往正上方飛出，掉落下後發生第二次碰撞的機率極低。