作者：王一哲
日期：2026年4月2日
ZeroJudge 題目連結：
d055. 11437 - Triangle Fun
解題想法
數學題。分點公式是高中數學課程內容，假設要在兩個點 $A$、$B$ 找到另一個點 $C$，使 $\overline{AB} : \overline{CB} = m : n$，則
$$
C = \frac{n}{m+n} A + \frac{m}{m+n} B
$$
題目的提示中有由寫三角形三個頂點求面積的公式
$$
area = \frac{1}{2} \times \left | A_x B_y - A_y B_x + B_x C_y - C_x B_y + C_x A_y - C_y A_x \right |
$$
還要自己推導，由兩條不平行的直線端點求交點座標的公式。假設 $(x_1, y_1), (x_2, y_2)$ 是直線 $y = ax + b$ 的端點座標，$(x_3, y_3), (x_4, y_4)$ 是直線 $y = a'x + b'$ 的端點座標。將 $(x_1, y_1), (x_2, y_2)$ 代入 $y = ax + b$ 可得
$$
y_1 = ax_1 + b ~~~~~ y_2 = ax_2 + b
$$
利用加減消去法可得
$$
a = \frac{y_1 - y_2}{x_1 - x_2} ~~~~~ b = \frac{x_2 y_1 - x_1 y_2}{x_2 - x_1}
$$
同理可得
$$
a' = \frac{y_3 - y_4}{x_3 - x_4} ~~~~~ b' = \frac{x_4 y_3 - x_3 y_4}{x_4 - x_3}
$$
再求 $y = ax + b$ 與 $y = a'x + b'$ 的交點 $(x, y)$，利用加減消去法可得
$$
x = \frac{b' - b}{a - a'} ~~~~~ y = \frac{a'b - ab'}{a' - a}
$$
Python 程式碼
使用時間約為 11 ms，記憶體約為 3 MB，通過測試。
def find_point(ax, ay, bx, by):
"""
代入直線的兩個端點 A、B
求與 A、B 距離比為 1:2 的座標
"""
cx = (2*ax + bx) / 3
cy = (2*ay + by) / 3
return cx, cy
def intersection(x1, y1, x2, y2, x3, y3, x4, y4):
"""
x1, y1, x2, y2 是一條直線 y = ax + b 的兩個端點
x3, y3, x4, y5 是另一條直線 y = a'x + b' 的兩個端點
兩條直線不平行，求直線的交點
"""
a = (y1 - y2) / (x1 - x2)
b = (x2*y1 - x1*y2) / (x2 - x1)
ap = (y3 - y4) / (x3 - x4)
bp = (x4*y3 - x3*y4) / (x4 - x3)
x = (bp - b) / (a - ap)
y = (ap*b - a*bp) / (ap - a)
return x, y
def find_area(ax, ay, bx, by, cx, cy):
"""
代入三角形 ABC 的三的頂點座標求面積
"""
return abs(ax*by - ay*bx + bx*cy - by*cx + cx*ay - cy*ax)/2
t = int(input())
for _ in range(t):
Ax, Ay, Bx, By, Cx, Cy = map(float, input().split())
Dx, Dy = find_point(Bx, By, Cx, Cy)
Ex, Ey = find_point(Cx, Cy, Ax, Ay)
Fx, Fy = find_point(Ax, Ay, Bx, By)
Px, Py = intersection(Bx, By, Ex, Ey, Ax, Ay, Dx, Dy)
Qx, Qy = intersection(Bx, By, Ex, Ey, Cx, Cy, Fx, Fy)
Rx, Ry = intersection(Ax, Ay, Dx, Dy, Cx, Cy, Fx, Fy)
area = find_area(Px, Py, Qx, Qy, Rx, Ry)
print(f"{round(area):d}")
