使用 Google 試算表及 VPython 計算砲彈軌跡

作者：王一哲
日期：2022/3/2

前言

前幾天在 YouTube 上看到李永樂老師的影片「如何精準命中目標？戰爭到底帶給我們什麽？」，影片中提到理想狀態與實際情境下的斜向拋射運動差異，最後有提到計算道彈的數值方法。影片中李永樂老師是用 Excel 計算的，而我在高三多元選修中則是教學生用 VPython 計算，雖然工具不同，但是原理相同。

影片來源：https://youtu.be/nalzSo4f0iQ

理想狀態

若砲彈的初速度量值為 $v_0$、仰角為 $\theta$，重力加速度為 $g$，只考慮重力的作用，則砲彈的水平位移 $x$ 與時間 $t$ 的關係為 $$x = v_0 \cos \theta \cdot t ~\Rightarrow~ t = \frac{x}{v_0 \cos \theta}$$ 鉛直位移 $y$ 與時間 $t$ 的關係為 $$y = v_0 \sin \theta \cdot t - \frac{1}{2}gt^2$$
將 $t = \frac{x}{v_0 \cos \theta}$ 代入 $y$ 可得軌跡方程式 $$y = v_0 \sin \theta \cdot \frac{x}{v_0 \cos \theta} - \frac{1}{2}g \cdot \left( \frac{x}{v_0 \cos \theta} \right)^2 ＝ \tan \theta \cdot x - \frac{g}{2v_0^2 \cos^2 \theta} \cdot x^2$$ 由於 $$\frac{1}{\cos^2 \theta} = \sec^2 \theta = 1 + \tan^2 \theta$$ 可以將軌跡方程式改寫成 $$y = x \cdot \tan \theta - \frac{gx^2}{2v_0^2} \cdot (1 + \tan^2 \theta)$$ 若已知目標物所在的位置 $(x, y)$，則初速度仰角 $\theta$ 可以由 $\tan \theta$ 為變數的一元二次方程式解出。 $$gx^2 \cdot \tan^2 \theta - 2v_0^2 x \cdot \tan \theta + 2v_0^2 y + gx^2 = 0$$ $$\tan \theta = \frac{v_0^2 x \pm \sqrt{v_0^4 x^2 - gx^2 (2v_0^2 y + gx^2)}}{gx^2}$$