無限多個電阻器連接的等效電阻

作者：王一哲
日期：2023/4/17

題目

下圖的每一個電阻器的電阻值皆為 $r$，若每3個電阻器為一組，不斷地向右連接了無窮多組的電阻器，則節點 a、b 之間的等效電阻量值為何？

等效電阻題目電路圖

理論解

由於題目的圖中有無窮多組電阻器，若在節點 a、b 的右側另取兩個節點 c、d，則 a、b 及 c、d 的等效電阻值應該會相等，也就是 $R = R_{ab} = R_{cd}$，可以將電路圖改為下圖。

等效電阻題目電路圖

由上圖可得 $$R = (R /\mkern-5mu/ r) + 2r ~\Rightarrow~ R = \frac{Rr}{R+r} + 2r ~\Rightarrow~ R^2 + Rr = Rr + 2Rr + 2r^2 \\ \Rightarrow~ R^2 - 2Rr - 2r^2 = 0 ~\Rightarrow~ R = \frac{2r \pm \sqrt{4r^2 + 8r^2}}{2} = (1 \pm \sqrt 3)r$$ 由於電阻值不可能是負值，因此答案為 $(\sqrt 3 + 1)r$