一個地球人在臺北: 利用殼層定理推導電量均勻分布的球殼產生的電場

2018年11月26日星期一

利用殼層定理推導電量均勻分布的球殼產生的電場

球殼外部

高中物理課本或是講義通常會避開這個問題，直接告訴學生經由微積分的計算後，我們可以將所有的電量集中在球心，用球心到該點的距離計算該點的電場，但是某些學生可能覺得無法接受，這時只好請出微積分這個強大的數學工具。推導過程如下：

下圖中A點是我們要計算電場的位置，B點為球殼上的某個點，O點為球心，R為球殼半徑，r為球心到A點的距離，s為A、B的距離，$\theta$為角AOB，$\phi$為角OAB。其中變數為s、$\theta$、$\phi$，但是由餘定理可得
$$\cos \theta = \frac{r^2 + R^2 - s^2}{2rR}$$
$$\cos \phi = \frac{r^2 + s^2 - R^2}{2rs}$$
所以真正的變數只有s。

電量均勻分布的球殼產生的電場（外部）

接著我們在球殼上取一小段圓環，其面積為
$$dS = 2 \pi R \cdot \sin \theta \cdot R d \theta = 2 \pi R^2 \sin \theta d \theta$$
假設球殼的總電量為$Q$，則這一小段圓環的電量為
$$dQ = \frac{Q}{4 \pi R^2} dS = \frac{Q}{2} \sin \theta d \theta$$
產生的電場方向為$\overrightarrow{OA}$方向，量值為
$$dE_r = \frac{kdQ}{s^2} \cdot \cos \phi = \frac{kQ}{2s^2} \sin \theta \cos \phi d \theta$$
由餘定理可得
$$\cos \theta = \frac{r^2 + R^2 - s^2}{2rR} \Rightarrow \sin \theta d \theta = \frac{s}{rR} ds$$
$$\cos \phi = \frac{r^2 + s^2 - R^2}{2rs}$$
代入上式
$$dE_r = \frac{kQ}{2s^2} \cdot \frac{r^2 + s^2 - R^2}{2rs} \cdot \frac{s}{rR} ds = \frac{kQ}{4r^2 R} \cdot \frac{r^2 + s^2 - R^2}{s^2} ds$$
將上式積分
$$\begin{align*}
\int dE_r &= \frac{kQ}{4r^2 R} \int_{r-R}^{r+R} \frac{r^2 + s^2 - R^2}{s^2} ds\\
&= \frac{kQ}{4r^2 R} \int_{r-R}^{r+R} \left(1 + \frac{r^2 - R^2}{s^2} \right) ds\\
&= \frac{kQ}{4r^2 R} \left[ s - \frac{r^2 - R^2}{s} \right]_{r-R}^{r+R}\\
&= \frac{kQ}{4r^2 R} \left[ (r+R) - (r-R) - \frac{r^2 - R^2}{r+R} + \frac{r^2 - R^2}{r-R}\right]\\
&= \frac{kQ}{4r^2 R} \left[ 2R - (r-R) + (r+R)\right]\\
&= \frac{kQ}{r^2}
\end{align*}$$

球殼內部

高中物理課本或是講義在處理這個問題時，通常是將球殼分成很多兩個一組的球殼，每一小塊球殼的帶電量
$$dQ \propto area \propto r^2$$
但是產生的電場
$$dE \propto \frac{dQ}{r^2} \propto \frac{r^2}{r^2} = 1$$
因此兩小塊球殼產生的電場會抵消。如果將整個球殼按照這樣的方式分成很多組，每一組產生的電場都會抵消，可以推論電量均勻分布的球殼內部的電場為0。

如果覺得無法接受，我們只好又請出微積分，推導過程與球殼外部的電場推導過程很像，如下圖所示：

電量均勻分布的球殼產生的電場（內部）

所有的符號定義與球殼外部的電場推導過程皆相同，但是將積分上、下限分別修改為$R+r$、$R-r$，因此
$$\begin{align*}
\int dE_r &= \frac{kQ}{4r^2 R} \int_{R-r}^{R+r} \frac{r^2 + s^2 - R^2}{s^2} ds\\
&= \frac{kQ}{4r^2 R} \int_{R-r}^{R+r} \left(1 + \frac{r^2 - R^2}{s^2} \right) ds\\
&= \frac{kQ}{4r^2 R} \left[ s - \frac{r^2 - R^2}{s} \right]_{R-r}^{R+r}\\
&= \frac{kQ}{4r^2 R} \left[ (R+r) - (R-r) - \frac{r^2 - R^2}{R+r} + \frac{r^2 - R^2}{R-r}\right]\\
&= \frac{kQ}{4r^2 R} \left[ 2r - (r-R) - (r+R)\right]\\
&= 0
\end{align*}$$