一個地球人在臺北: 克卜勒第三行星運動定律

2019年11月5日星期二

克卜勒第三行星運動定律

作者：王一哲
日期：2019/11/4

克卜勒 (Johannes Kepler, December 27, 1571 – November 15, 1630) 提出的行星運動定律共有三條：

1. 第一定律：又稱為軌道定律，繞太陽公轉的行星軌道為橢圓形，太陽位於其中一個焦點上。
2. 第二定律：又稱為等面積速率定律，行星與太陽連線於單位時間內掃過的面積 $\frac{dA}{dt} = \frac{1}{2}rv \sin \theta$
3. 第三定律：又稱為週期定律，繞太陽公轉的行星，其平均軌道半徑，也就是橢圓軌道的半長軸 $a$，與公轉週期$T$的關係為$\frac{a^3}{T^2}=定值$

現行的高中物理教材中，只有提到第三定律的數學式子，我們可以讓學生用現代的觀測資料，試著驗證第三定律。

太陽系八大行星

從網路上可以找到行星公轉軌道的資料，為了簡化數值，半長軸$a$的單位為天文單位 (astronomical units, AU)，公轉週期的單位為地球年 (yr)。

行星	公轉週期T (yr)	半長軸 a (AU)
水星	0.241	0.387
金星	0.615	0.723
地球	1.000	1.000
火星	1.881	1.524
木星	11.862	5.203
土星	29.458	9.555
天王星	84.022	19.218
海王星	164.774	30.110

我們先試著畫出 $a - T$ 關係圖，基本上看不出兩者的數學關係。

接著再試著畫 $\log ~a - \log ~T$ 關係圖，圖中的數據點分布在一條直線上，線性擬合結果為

$斜率 = 0.667068896889 \pm 0.000051799433$
$截距 = -0.000046032714 \pm 0.000064574953$
$R^2 = 0.999999963819$

從斜率可以得到$a^3 \propto T^2$。在此說明一下推論的過程，假設 $a^m \propto T^n$，為了寫成等式可以在等號右邊乘上一個常數 $k$，式子改寫為
$$a^m = kT^n$$
接著將兩側同時取$\log$
$$\log (a^m) = \log(kT^n)$$
$$m \log a = \log k + n \log T$$
$$my = b + nx$$
$$y = \frac{b}{m} + \frac{n}{m} x$$
$\log ~a - \log ~T$ 關係圖最接近直線的斜率
$$\frac{n}{m} = 0.667068896889 \approx \frac{2}{3}$$

最後再畫 $a^3 - T^2$ 關係圖，線性擬合結果為

$斜率 = 1.005441256826 \pm 0.000009609122$
$截距 = -0.153034978205 \pm 0.095346704425$
$R^2 = 0.999999999452$

由$R^2$值可以看出數據點幾乎分布在一條直線上。由於單位採用 AU 及 yr，最接近直線的斜率會很接近1。

木星的衛星資料

除了繞太陽公轉的行星之外，克卜勒第三行星運動定律也可以用在繞同一個行星公轉的衛星，只是式中的定值會隨者被公轉的行星而改變。為了驗證這點，我從網路上找到 NASA 公布的資料 Jovian Satellite Fact Sheet，並依照同樣的步驟分析資料。

$\log ~a - \log ~T$ 關係圖擬合結果

$斜率 = 0.666469296011 \pm 0.000510189627$
$截距 = 2.460553630470 \pm 0.001350989243$
$R^2 = 0.999954879481$

最接近直線的斜率也很接近$\frac{2}{3}$。

$a^3 - T^2$ 關係圖擬合結果

$斜率 = 23934474.554326117039 \pm 168997.614541254850$
$截距 = 16267039241.303054809570 \pm 73994810593.639663696289$
$R^2 = 0.996175808687$

由$R^2$值可以看出數據點幾乎分布在一條直線上。