帶電粒子在電場及磁場中的運動

作者：王一哲
日期：2019/3/29

題目

如下圖所示，在平行於$+y$方向上施加一強度為$E$的均勻電場，另在垂直射出紙面的方向上施加一強度為$B$的均勻磁場。起始時，有一質量為$m$、帶有正電荷$q$的質點，靜止放置在原點處。只受此電磁場的作用下（重力可不計），則在質點的運動過程中，下列敘述何者正確？【96指考單選6】
(A) 任何時刻質點的加速度朝向$+y$方向
(B) 任何時刻磁場對質點不作功
(C) 任何時刻電場對質點不作功
(D) 任何時刻磁場對質點的作用力為零
(E) 質點在此電磁場中的運動軌跡為圓形

解答

質點會同時受到靜電力及磁力的作用，兩者分別為

$$\mathbf{F_E} = q \mathbf{E} = (0, qE, 0)$$

$$\mathbf{F_B} = q (\mathbf{v} \times \mathbf{B}) \perp \mathbf{v}$$

1. 質點的加速度方向會隨著速度而改變，當速度為0時磁力為0，只有$+y$方向的靜電力，因此加速度為$+y$方向；當質點有$+y$方向的速度時，就會受到$+x$方向的磁力作用而偏轉，(A)選項錯誤。
2. 由於$\mathbf{F_B} \perp \mathbf{v}$，磁力不會對質點作功，(B)選項正確。
3. 由於$\mathbf{F_E} = q \mathbf{E} = (0, qE, 0)$，除了質點速度正好與$+y$方向垂直時，靜電力會對質點作功，(C)選項錯誤。
4. 由於$\mathbf{F_B} = q (\mathbf{v} \times \mathbf{B})$，(D)選項錯誤。
5. 質點在此電磁場中的運動軌跡不會是圓形，(E)選項錯誤。

使用 VPython 模擬的結果

立方體電阻

作者：王一哲
日期：2019/3/21

題目

如下圖所示，每個電阻器的電阻值皆為$r$，若電流由A流入、由G流出，請問A之間的等效電阻值為何？

解答

由於電流$I$由A點流入之後，往B、D、E的電流皆為$I/3$，可以推測這三個位置等電位，同理可推C、F、H等電位，因此可以將電路圖化簡為下圖，AG之間的等效電阻值為
$$R_{AG} = \frac{r}{3} + \frac{r}{6} + \frac{r}{3} = \frac{5}{6} r$$