帶電粒子在電場及磁場中的運動

作者：王一哲
日期：2019/3/29

題目

如下圖所示，在平行於$+y$方向上施加一強度為$E$的均勻電場，另在垂直射出紙面的方向上施加一強度為$B$的均勻磁場。起始時，有一質量為$m$、帶有正電荷$q$的質點，靜止放置在原點處。只受此電磁場的作用下（重力可不計），則在質點的運動過程中，下列敘述何者正確？【96指考單選6】
(A) 任何時刻質點的加速度朝向$+y$方向
(B) 任何時刻磁場對質點不作功
(C) 任何時刻電場對質點不作功
(D) 任何時刻磁場對質點的作用力為零
(E) 質點在此電磁場中的運動軌跡為圓形

解答

質點會同時受到靜電力及磁力的作用，兩者分別為

$$\mathbf{F_E} = q \mathbf{E} = (0, qE, 0)$$

$$\mathbf{F_B} = q (\mathbf{v} \times \mathbf{B}) \perp \mathbf{v}$$

1. 質點的加速度方向會隨著速度而改變，當速度為0時磁力為0，只有$+y$方向的靜電力，因此加速度為$+y$方向；當質點有$+y$方向的速度時，就會受到$+x$方向的磁力作用而偏轉，(A)選項錯誤。
2. 由於$\mathbf{F_B} \perp \mathbf{v}$，磁力不會對質點作功，(B)選項正確。
3. 由於$\mathbf{F_E} = q \mathbf{E} = (0, qE, 0)$，除了質點速度正好與$+y$方向垂直時，靜電力會對質點作功，(C)選項錯誤。
4. 由於$\mathbf{F_B} = q (\mathbf{v} \times \mathbf{B})$，(D)選項錯誤。
5. 質點在此電磁場中的運動軌跡不會是圓形，(E)選項錯誤。

使用 VPython 模擬的結果

使用 VPython 模擬質點運動狀況

GlowScript 網站動畫連結

from vpython import *

"""
 1. 參數設定, 設定變數及初始值
"""
size, m, q = 0.005, 1E-10, 1E-9 # 粒子半徑, 質量, 電量
v0 = vec(0, 0, 0)            # 粒子速度
L = 0.4                      # 坐標軸長度
limit = 2*L                  # 邊界
B_field = vec(0, 0, 10)      # 磁場
E_field = vec(0, 10, 0)      # 電場
t, dt = 0, 1E-5              # 時間, 時間間隔

"""
 2. 畫面設定
"""
# 產生動畫視窗
scene = canvas(title="Charged Particle in Electric Field and Magnetic Field", width=800, height=600, x=0, y=0, 
               center=vec(0.1*L, 0.1*L, 0), range=0.6*L, background=color.black)
# 產生帶電粒子
charge = sphere(pos=vec(0, 0, 0), radius=2*size, v=v0, color=color.red, m=m, make_trail=True)
# 產生坐標軸及標籤
arrow_x = arrow(pos=vec(-L/2, 0, 0), axis=vec(L, 0, 0), shaftwidth=0.6*size, color=color.yellow)
label_x = label(pos=vec(L/2, 0, 0), text="x", xoffset=25, color=color.yellow, font="sans")
arrow_y = arrow(pos=vec(0, -L/2, 0), axis=vec(0, L, 0), shaftwidth=0.6*size, color=color.yellow)
label_y = label(pos=vec(0, L/2, 0), text="y", yoffset=25, color=color.yellow, font="sans")
arrow_z = arrow(pos=vec(0, 0, -L/2), axis=vec(0, 0, L), shaftwidth=0.6*size, color=color.yellow)
label_z = label(pos=vec(0, 0, L/2), text="z", xoffset=-25, yoffset=-25, color=color.yellow, font="sans")
# 產生表示磁場的箭頭及標籤
arrow_B = arrow(pos=vec(-L/2, 0, 0), axis=B_field.norm()*0.1, shaftwidth=size, color=color.green)
label_B = label(pos=vec(-L/2, 0, 0), text="B", xoffset=25, yoffset=25, color=color.green, font="sans")
arrow_E = arrow(pos=vec(-L/2, L/4, 0), axis=E_field.norm()*0.1, shaftwidth=size, color=color.cyan)
label_E = label(pos=vec(-L/2, L/4, 0), text="E", xoffset=25, yoffset=25, color=color.cyan, font="sans")
# 產生表示速度、加速度的箭頭
arrow_v = arrow(pos=charge.pos, shaftwidth=0.5*size, color=color.blue)
arrow_a = arrow(pos=charge.pos, shaftwidth=0.5*size, color=color.magenta)

"""
 3. 物體運動部分
"""
while(abs(charge.pos.x) < limit and abs(charge.pos.y) < limit and abs(charge.pos.z) < limit):
    rate(500)
# 計算帶電粒子所受合力, 更新帶電粒子加速度、速度、位置
    F = q*cross(charge.v, B_field) + q * E_field
    charge.a = F/charge.m
    charge.v += charge.a*dt
    charge.pos += charge.v*dt
# 更新表示速度、加速度的箭頭, 只畫出方向以避免動畫自動縮小
    arrow_v.pos = charge.pos
    arrow_a.pos = charge.pos
    arrow_v.axis = charge.v.norm()*0.1
    arrow_a.axis = charge.a.norm()*0.1
# 更新時間
    t += dt

這個程式是以〈帶電粒子在磁場中的運動〉當中的程式修改而成，差別在於

1. 加上電場 E_field = vec(0, 10, 0)
2. 依照題目要求修改磁場為 B_field = vec(0, 0, 10)
3. 修改粒子初速度為 vec(0, 0, 0)
4. 修改計算帶電粒子合力的算式為 F = q*cross(charge.v, B_field) + q * E_field

由於粒子初速度為0，此時只有受到$+y$方向的靜電力作用，粒子會先朝$+y$方向加速、移動一小段距離。接著同時受到$+y$方向的靜電力及$+x$方向磁力的作用，粒子速度朝$+x$方向偏轉。由於磁力與速度方向垂直，磁力不會對粒子作功，只會使粒子轉彎，當粒子回到$x$軸上時速度會變回0，接著重複同樣的運動過程。

結語

這是一個很難憑空想像的題目，但是藉由 VPython 我們可以很輕鬆地畫出粒子的運動過程，這就是學習程式語言能帶來的好處。

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HackMD 版本連結：https://hackmd.io/@yizhewang/ryxsQbsu4