109學測自然科物理試題解析

作者：王一哲
日期：2020/1/19

試題與詳解

1. 下列甲、乙、丙三個敘述為原子內部結構探究的三個過程，依發生時間先後排序
   何者正確？
   甲：夸克的發現。
   乙：電子只在特定軌道運行。
   丙：利用α粒子撞擊金箔，發現原子核的存在。
   (A)甲乙丙　　(B)甲丙乙　　(C)乙丙甲　　(D)乙甲丙　　(E)丙乙甲

答案：E
層次：知識
難度：易
章節：近代物理
詳解：
甲：蓋爾曼 (Murray Gell-Mann) 與茨威格 (George Zweig) 於 1964 年分別提出夸克模型，史丹佛線性加速器中心（SLAC）於 1968 年的實驗中找到夸克。
乙：波耳 (Niels Henrik David Bohr) 於 1913 年提出氫原子模型，假設電子存在於特定軌道上時不會輻射出能量。
丙：拉塞福 (Ernest Rutherford) 於 1909 年進行拉塞福散射實驗 (Rutherford scattering)，用α粒子撞擊金箔，並由α粒子的散射角度與數量的關係發現原子核的存在。

2. 王君搭乘熱氣球在廣闊無風的平原上空觀賞風景，熱氣球以等速度 5.0 m/s 鉛直上升時，王君不小心使相機從離地高度為 100 m 處離手而成為自由落體，若不計空氣阻力並取重力加速度為 10 m/s²，則相機著地前瞬間的速度量值約為多少 m/s？
   (A)55　　　(B)45　　　(C)35　　　(D)25　　　(E)15

答案：B
層次：應用
難度：易
章節：力與運動
詳解：
$$v^2 = v_0^2 + 2as$$

$$v^2 = 5^2 + 2 \times (-10) \times (-100)$$

$$v^2 = 2025$$

$$v = 45 ~\mathrm{m/s}$$

利用反作用力後退

作者：王一哲
日期：2020/1/15

題目

假設有一個裝置本體的質量 $M$，裝置上載有一些即將被水平拋出的物體，物體的總質量為 $m$，且$M>m$。假設總共拋出 $N$ 次，則每次拋出的物體質量 $dm = m/N$，被拋出的物體相對於拋出後本體的速度為 $v$。請問將所有物體拋出後本體的速度$v_t$與拋出次數$N$的關係為何？

理論計算

第1次拋出物體後本體對地速度為 $v_1$，被拋出的物體對地速度為 $v + v_1$，由動量守恆可知

$$(M+m-dm) v_1 + dm (v+v_1) = 0$$
$$v_1 = -\frac{dm \cdot v}{M+m}$$

第2次拋出物體後本體對地速度為 $v_2$，被拋出的物體對地速度為 $v + v_2$，由動量守恆可知

$$(M+m-2dm) v_2 + dm (v+v_2) = (M+m-dm) v_1$$

$$\begin{align*} v_2 &= \frac{-dm \cdot v + (M+m-dm) v_1 }{M+m-dm} \\ &= -\frac{dm \cdot v}{M+m-dm} + v_1 \\ &= -dm \cdot v \left(\frac{1}{M+m-dm} + \frac{1}{M+m} \right) \end{align*}$$

第3次拋出物體後本體對地速度為 $v_3$，被拋出的物體對地速度為 $v + v_3$，由動量守恆可知

$$(M+m-3dm) v_3 + dm (v+v_3) = (M+m-2dm) v_2$$

$$\begin{align*} v_3 &= \frac{-dm \cdot v + (M+m-2dm) v_2 }{M+m-2dm}\\ &= -\frac{dm \cdot v}{M+m-2dm} + v_2\\ &= -dm \cdot v \left(\frac{1}{M+m-2dm} + \frac{1}{M+m-dm} + \frac{1}{M+m} \right) \end{align*}$$