一個地球人在臺北: 109學測自然科物理試題解析

作者：王一哲
日期：2020/1/19

試題與詳解

下列甲、乙、丙三個敘述為原子內部結構探究的三個過程，依發生時間先後排序
何者正確？
甲：夸克的發現。
乙：電子只在特定軌道運行。
丙：利用α粒子撞擊金箔，發現原子核的存在。
(A)甲乙丙　　(B)甲丙乙　　(C)乙丙甲　　(D)乙甲丙　　(E)丙乙甲

答案：E
層次：知識
難度：易
章節：近代物理
詳解：
甲：蓋爾曼 (Murray Gell-Mann) 與茨威格 (George Zweig) 於 1964 年分別提出夸克模型，史丹佛線性加速器中心（SLAC）於 1968 年的實驗中找到夸克。
乙：波耳 (Niels Henrik David Bohr) 於 1913 年提出氫原子模型，假設電子存在於特定軌道上時不會輻射出能量。
丙：拉塞福 (Ernest Rutherford) 於 1909 年進行拉塞福散射實驗 (Rutherford scattering)，用α粒子撞擊金箔，並由α粒子的散射角度與數量的關係發現原子核的存在。

王君搭乘熱氣球在廣闊無風的平原上空觀賞風景，熱氣球以等速度 5.0 m/s 鉛直上升時，王君不小心使相機從離地高度為 100 m 處離手而成為自由落體，若不計空氣阻力並取重力加速度為 10 m/s²，則相機著地前瞬間的速度量值約為多少 m/s？
(A)55　　　(B)45　　　(C)35　　　(D)25　　　(E)15

答案：B
層次：應用
難度：易
章節：力與運動
詳解：
$$v^2 = v_0^2 + 2as$$

$$v^2 = 5^2 + 2 \times (-10) \times (-100)$$

$$v^2 = 2025$$

$$v = 45 ~\mathrm{m/s}$$

下列選項中橢圓為行星繞太陽的軌道，O 點代表橢圓的中心，F 點代表橢圓的焦點，P、Q 兩點處箭號與其長度分別代表行星在該處的速度方向與量值。哪一個
選項中的圖最接近實際的情況？（選項(A)與選項(D)圖中的兩箭號等長，選項(B)、選項(C)與選項(E)圖中的兩箭號不等長）

答案：B
層次：理解
難度：易
章節：力與運動
詳解：依據克卜勒第一行星運動定律，太陽位於橢圓其中一個焦點上，因此D、E選項錯誤。依據克卜勒第二行星運動定律（等面積速率定律），行星與太陽連線於單位時間內掃過的面積相等，行星與太陽距離遠時速度慢、距離近時速度快，故選B。

三個點電荷排列成一直線，若$Q$為電量（$Q > 0$），$R$ 為點電荷間的距離，且所有電荷皆固定不動，則下列選項中，位於左端的電荷所受到靜電力的合力量值何者最大？

答案：B
層次：應用
難度：中
章節：基本交互作用
詳解：以下算式皆以向右為正，依據庫侖定律可得

$$F_A = -\frac{k \cdot 2Q \cdot Q}{R^2} + \frac{k \cdot 2Q \cdot 2Q}{(2R)^2} = -\frac{kQ^2}{R^2}$$

$$F_B = -\frac{k \cdot 2Q \cdot Q}{R^2} - \frac{k \cdot 2Q \cdot 2Q}{(2R)^2} = -\frac{3kQ^2}{R^2}$$

$$F_C = \frac{k \cdot Q \cdot 2Q}{R^2} + \frac{k \cdot Q \cdot 2Q}{(2R)^2} = \frac{5kQ^2}{2R^2}$$

$$F_D = -\frac{k \cdot Q \cdot 2Q}{R^2} + \frac{k \cdot Q \cdot 2Q}{(2R)^2} = -\frac{3kQ^2}{2R^2}$$

$$F_E = \frac{k \cdot Q \cdot 2Q}{R^2} - \frac{k \cdot Q \cdot 2Q}{(2R)^2} = \frac{3kQ^2}{2R^2}$$

如圖1 所示，P、Q 兩點分別連接到電壓固定之直流電源的兩電極處，Q、Y 兩點之間連接一個可變電阻器，X 點可在 Q、Y 兩點間滑動，固定不動的螺線管上方藉由塑膠彈簧垂直懸掛一根磁棒。最初未通電時彈簧為靜止狀態，通電後達靜力平衡時，發現彈簧較未通電時長。如果緩緩滑動 X 點至另一位置後停下，當彈簧再度達靜力平衡後，彈簧更加伸長，試問下列何者選項之操作能夠與觀測結果一致？
(A) P 點接正極，Q 點接負極，X 點向 Y 點滑動
(B) P 點接正極，Q 點接負極，X 點向 Q 點滑動
(C) P 點接負極，Q 點接正極，X 點向 Y 點滑動
(D) P 點接負極，Q 點接正極，X 點向 Q 點滑動
(E) 彈簧是否伸長與 X 點的滑動方向無關

圖1

答案：B
層次：應用
難度：中
章節：電與磁
詳解：由於磁鐵下方為N極，通電後達靜力平衡時彈簧伸長，因此螺線管產生的磁場方向向下，故P 點接正極，Q 點接負極。緩緩滑動 X 點後，彈簧更加伸長，代表螺線管上的電流增加，迴路上的電阻值變小，X 點向 Q 點滑動。

某天文學家鎖定甲、乙兩個天體的觀測資料進行分析，之後確定其中一個是星系而另一個是星系團。若甲的質量約為乙的 1000 倍，且甲、乙兩天體相同元素所發出的對應光譜線，甲的波長皆大於乙，則下列敘述何者正確？
(A) 甲為星系團，遠離速率較乙小
(B) 甲為星系，距離較乙遠
(C) 乙為星系團，遠離速率較甲小
(D) 甲為星系，距離較乙近
(E) 甲為星系團，遠離速率較乙大

答案：E
層次：理解
難度：易
章節：宇宙學
詳解：由於甲的質量約為乙的 1000 倍，因此甲為星系團、乙為星團。由於相同元素所發出的對應光譜線，甲的波長皆大於乙，紅移較大，遠離速率較快。

下列關於「量子現象」的敘述哪些正確？（應選2項）
(A) 電子的雙狹縫干涉現象是因為電子具有粒子性
(B) 氫原子的發射光譜是屬於連續光譜
(C) 光電效應的實驗結果顯示光具有粒子性
(D) 量子現象皆可用古典物理中的電磁理論解釋
(E) 實驗觀測到的氫原子光譜特徵可用氫原子能階模型來解釋

答案：CE
層次：知識
難度：易
章節：量子現象
詳解：
A 錯，此實驗證明電子具有波動性。
B 錯，氫原子的發射光譜是屬於明線光譜。
C 對，此實驗必須用愛因斯場的光子論才能解釋，證明光具有粒子性。
D 錯，量子現象無法用古典電磁理論解釋。
E 對，波耳的氫原子能階模型可以算出氫原子光譜的波長。

某廠商生產三種燈泡：白熾燈泡、省電燈泡、LED燈泡，其資料如表3所示。假設一度電的電費為2.5元，每年平均約使用2000小時，且燈泡售價不變，「電能轉換為光通量效率」定義為平均光通量對耗電功率的比值，則下列敘述哪些正確？（應選2項）
(A) LED燈泡一年的電費約為100元
(B) 一年電費與燈泡購置費總和的大小順序為：白熾燈泡 > LED燈泡 > 省電燈泡
(C) 一年電費與燈泡購置費總和的大小順序為：白熾燈泡 > 省電燈泡 > LED燈泡
(D)「電能轉換為光通量效率」的大小順序為：LED燈泡 > 省電燈泡 > 白熾燈泡
(E) 只就節省電能考量，應全面換裝省電燈泡

表3

	白熾燈泡	省電燈泡	LED燈泡
每個售價（元）	15	60	125
耗電功率（瓦特）	60	15	10
平均光通量（流明）	860	775	900
壽命（小時）	1,000	10,000	15,000

答案：BD
層次：應用
難度：中
章節：能量
詳解：
A 錯，LED燈泡一年的電費為 $2000 \times 0.01 \times 2.5 = 50$ 元。
B 對，一年電費與燈泡購置費總和分別為
白熾燈泡：$15 + 2000 \times 0.06 \times 2.5 = 325$ 元。
省電燈泡：$60 + 2000 \times 0.015 \times 2.5 = 135$ 元。
LED燈泡：$125 + 2000 \times 0.01 \times 2.5 = 175$ 元。
C 錯，理由同上。
D 對，電能轉換為光通量效率分別為
白熾燈泡：$860/60 \approx 14.3$ 流明/瓦特。
省電燈泡：$775/15 \approx 51.7$ 流明/瓦特。
LED燈泡：$900/10 = 90$ 流明/瓦特。
E 錯，應全面換裝LED燈泡。

若將腦部同一位置在4種情況下，以相同比例尺度繪製的腦電波紀錄簡化後如圖8所示。已知 $\mathrm{1 \mu V = 10 ^{-6} V}$，下列有關該腦電波紀錄電壓起伏幅度的敘述，何者
正確？
(A) 電壓為電能量，單位為焦耳
(B) 電壓的單位為安培，是國際單位制的基本量
(C) 深睡時，電壓起伏幅度最微弱
(D) 清醒活動時，電壓起伏幅度最強烈，約是 1 mV
(E) 睏倦入眠時，電壓起伏幅度大於清醒休息時

圖8

答案：E
層次：理解
難度：易
章節：綜合
詳解
A 錯，電壓是推動帶電粒子的能量，單位為伏特 (V)。
B 錯，電壓的單位為伏特，是導出單位；電流的單位為安培，是國際單位制的基本量。
C 錯，由圖8可看出深睡時電壓起伏幅度最強烈。
D 錯，理由同上。
E 對，理由同上。

依據圖8所示，下列關於腦電波的敘述何者正確？
(A) 腦電波的頻率為波長與波速的乘積
(B) 深睡時，腦電波的頻率最高
(C) 深睡時，腦電波的週期大於2秒
(D) 睏倦入眠時，腦電波的頻率大於5 Hz
(E) 清醒活動時，腦電波的頻率最高，大於1000 Hz

答案：D
層次：應用
難度：易
章節：波
詳解：
A 錯，波速 = 頻率 × 波長，$v = f \lambda$。
B 錯，頻率為單位時間振動的次數，由圖8可看出清醒活動時腦電波的頻率最高。
C 錯，由圖8可看出深睡時腦電波週期約為0.5秒。
D 對，由圖8可看出睏倦入眠時腦電波頻率約為6 Hz。
E 錯，由圖8可看出清醒活動時腦電波的頻率約為32 Hz。

以下哪些屬於一次直接轉換成電能，且能量形式描述正確？（應選2項）
(A) 乾電池：熱能 → 電能
(B) 水力發電：位能 → 電能
(C) 風力發電：動能 → 電能
(D) 太陽能電池：光能 → 電能
(E) 天然氣發電：化學能 → 電能

答案：CD
層次：理解
難度：易
章節：能量
詳解：
A 錯，化學能 → 電能。
B 錯，重力位能 → 動能 → 電能。
C 對。
D 對。
E 錯，化學能 → 熱能 → 動能 → 電能。

43-44為題組
某選手由架上挺舉質量為 100公斤的槓鈴，垂直挺舉過程中，槓鈴垂直速度隨時間的關係曲線如圖9所示（速度向上為正），圖中甲至壬為挺舉過程中的某些特定
時刻。

圖9

下列有關槓鈴力學能的敘述何者正確？
(A) 由零秒到甲時刻過程，槓鈴的動能增加
(B) 由丁時刻到戊時刻過程，槓鈴的位能減少
(C) 由戊時刻到庚時刻過程，槓鈴的位能減少
(D) 己時刻為槓鈴的位能最低點
(E) 丙時刻為槓鈴的位能最高點

答案：C
層次：應用
難度：難
章節：能量
詳解：
A 錯，速度大約由 -0.5 m/s 變成 0 m/s，動能減少。
B 錯，由丁時刻到戊時刻過程槓鈴速度為正，高度增加，重力位能增加。
C 對，請參考挺舉的影片：：08/21 郭婞淳舉重奪金挺舉142公斤破世界紀錄，圖中戊時刻到庚時刻的過程，應該是對應到影片中1分15秒到1分17秒處，蹲下時槓鈴的位能減少，故選C。
D 錯，己時刻槓鈴速度為 -1.8 m/s，仍在下降中，不是位於最低點。
E 錯，丙時刻到戊時刻槓鈴速度為正，仍在上升中，因此丙時刻槓鈴不是位於最高點。

若取重力加速度為 10 m/s²，則甲時刻到乙時刻之間，舉重選手挺舉槓鈴所施之平均作用力約是多少牛頓？
(A) 100　　　(B) 500　　　(C) 1000　　　(D) 1500　　　(E) 3200

答案：D
層次：應用
難度：難
章節：力與運動
詳解：由圖中可看出槓鈴所受合力
$$F_{net} = 100 \times \frac{1.2 - (-0.3)}{0.4-0.1} = 500 ~\mathrm{N}$$
舉重選手挺舉槓鈴所施之平均作用力
$$F - mg = F_{net} ~\Rightarrow~ F = 500 + 100 \times 10 = 1500 ~\mathrm{N}$$

假設重力完全來自地球，下列關於飛行中物體的敘述，哪些正確？（應選3項）
(A) 在大氣中等速度直線飛行的民航機，所受的合力為零
(B) 在太空中等速繞地球飛行的人造衛星，所受的合力為零
(C) 在太空中等速繞地球飛行的人造衛星，所需的向心力由重力提供
(D) 在太空中等速繞地球飛行的人造衛星，不需要耗用燃料提供動力
(E)在大氣中作鉛垂面等速圓周運動的戰鬥機內飛行員，所需的向心力僅由重力提供

答案：ACD
層次：理解
難度：易
章節：圓周運動
詳解：
A 對。
B 錯，人造衛星所受合力指向地心，作為向心力。
C 對。
D 對。
E 錯，如果只用重力作為向心力無法維持等速率。

46-47為題組
兩塊質量不同的磁鐵靜置於水平桌面，同性磁極N相向，達靜力平衡後，圖10為它們受力情形的示意圖，$F_1$、$F_2$為磁力，$f_1$ 、$f_2$為摩擦力，$W_1$、$W_2$為重力，$T_1$、$T_2$為正向力。

圖10

下列哪一對的力，互為作用力與反作用力？
(A) $F_1$、$F_2$　　　(B) $f_1$、$f_2$　　　(C) $F_1$、$f_1$　　　(D) $T_1$、$W_1$　　　(E) $F_1$、$f_2$

答案：A
層次：理解
難度：易
章節：力與運動
詳解：作用力與反作用力的性質為：大小相等、方向相反、作用在對方身上，故選A。

設重力加速度為$g$，若僅考慮力的量值，則下列關係式何者正確？
(A) $F_1 = W_1 g$　　　(B) $T_2 = W_2 g$　　　(C) $W_1 = W_2$　　　(D) $T_1 = T_2$　　　(E) $f_1 = f_2$

答案：E
層次：理解
難度：易
章節：力與運動
詳解：
A 錯，左側磁鐵水平方向合力為零，因此 $F_1 = f_1$；鉛直方向合力為零，因此 $T_1 = W_1$。
B 錯，右側磁鐵水平方向合力為零，因此 $F_2 = f_2$；鉛直方向合力為零，因此 $T_2 = W_2$。
C 錯，兩個磁鐵質量不同，因此 $W_1 \neq W_2$。
D 錯，$T_1 \neq T_2$。
E 對，由於$F_1$、$F_2$是一組作用力與反作用力，兩者量值相等，再加上兩個磁鐵水平方向合力為零的條件，可以確定$f_1 = f_2$。

48-49為題組
如圖11所示，今有質量分別為 $m_甲$ 與 $m_乙$ 之甲、乙兩小球，其質量比值 $\frac{m_甲}{m_乙} = \alpha < 1$ ，將兩小球分別用長度為 $L$ 的細線懸掛於同一固定點O，甲球靜止懸掛，而乙球向右拉直至細線呈現水平，然後靜止釋放乙球使其與甲球產生碰撞，且兩球立即黏在一起，黏在一起後盪起的最大高度為$L/2$，圖12為其示意圖，細繩質量及空氣阻力均可忽略。

假設以兩球自然下垂時的最低點為位能零點，則因碰撞而損失的力學能佔原來總力學能的比例為下列何者？
(A) $\frac{1}{\alpha}$　　　(B) $\frac{\alpha}{2}$　　　(C) $\frac{1 - \alpha}{2}$　　　(D) $\frac{1 + \alpha}{2}$　　　(E) 0

答案：C
層次：應用
難度：中
章節：碰撞、能量
詳解：
碰撞前力學能為
$$E_0 = m_乙 gL$$
碰撞後力學能為
$$E_1 = (m_甲 + m_乙) g \cdot \frac{L}{2} = \frac{1}{2} m_乙gL (\alpha + 1)$$
損失的力學能為
$$\Delta E = E_0 - E_1 = \frac{1}{2} m_乙gL (1 - \alpha)$$
損失的力學能佔原來的力學能比例為
$$\frac{\Delta E}{E_0} = \frac{1 - \alpha}{2}$$

2021/4/15 補充

以下的意見是由華江高中曲輔良老師提供的，感謝曲老師！

兩個物體的內動能為 $$ K_i = K_t - K_c = \frac{1}{2}m_1 v_1^2 + \frac{1}{2}m_2 v_2^2 - \frac{1}{2} (m_1 + m_2) \left ( \frac{m_1 v_1 + m_2 v_2}{m_1 + m_2} \right )^2 $$ $$ K_i = \frac{m_1^2 v_1^2 + m_1 m_2 v_1^2 + m_1 m_2 v_2^2 + m_2^2 v_2^2 - m_1^2 v_1^2 - 2 m_1 m_2 v_1 v_2 - m_2^2 v_2^2}{2(m_1 + m_2)} $$ $$ K_i = \frac{m_1 m_2 (v_1^2 - 2 v_1 v_2 + v_2^2)}{2(m_1 + m_2)} $$ $$ K_i = \frac{1}{2} \cdot \frac{m_1 m_2}{m_1 + m_2} \cdot (v_1 - v_2)^2 $$ 若用內動能計算此題，由於此題為完全非彈性碰撞，內動能全部被消耗掉，因此損失的力學能為 $$ \Delta E = \frac{1}{2} \cdot \frac{m_甲 m_乙}{m_甲 + m_乙} \cdot (v_乙 - 0)^2 = \frac{1}{2} \cdot \frac{\alpha m_乙^2}{(\alpha + 1) m_乙} \cdot v_乙^2 = \frac{\alpha}{\alpha + 1} \cdot \frac{1}{2} m_乙 v_乙^2 $$ 損失的力學能比例為 $$ \frac{\alpha}{\alpha + 1} $$ 似乎沒有選項能選，但如果將由下一題求出的答案 $\alpha = \sqrt 2 -1$ 分別代入上式以及大考中心公布的答案，我們會發現 $$ \frac{\alpha}{\alpha + 1} = \frac{\sqrt 2 - 1}{\sqrt 2} = \frac{2 - \sqrt 2}{2} $$ $$ \frac{1 - \alpha}{2} = \frac{1 - (\sqrt 2 -1)}{2} = \frac{2 - \sqrt 2}{2} $$ 兩者答案相同。

質量比值 $\alpha$ 最接近下列何者？
(A) 0.9　　　(B) 0.6　　　(C) 0.4　　　(D) 0.25　　　(E) 0.1

答案：C
層次：應用
難度：難
章節：碰撞、能量
詳解：由力學能守恆可得乙落到最低點時的速度$v_0$
$$m_乙 gL = \frac{1}{2} m_乙 v_0^2 ~\Rightarrow~ v_0 = \sqrt{2gL}$$
由撞後甲、乙上升高度及力學能守恆可得撞後速度$v_1$
$$\frac{1}{2} (m_甲 + m_乙) v_1^2 = (m_甲 + m_乙) g \cdot \frac{L}{2} ~\Rightarrow~ v_1 = \sqrt{gL}$$
甲、乙碰撞過程水平動量守恆，因此
$$m_乙 v_0 = (m_甲 + m_乙) v_1 ~\Rightarrow~ \sqrt{2} m_乙 v_1 = (\alpha + 1) m_乙 v_1 ~\Rightarrow~ \alpha = \sqrt 2 - 1 \approx 0.4$$

試題分析

層次的部分是依據 Bloom 的分類，由低到高依序為知識 (knowledge)、理解 (comprehension)、應用 (application)、分析 (analysis)、綜合 (synthesis)、評鑑 (evaluation)，但由於學測試題皆為選擇題，無法要求學生解釋他依據什麼原理或事實根據得到答案，因此我覺得沒有題目可以考到分析以上的層次。難度的部分主要是依據計算量以及容易出錯的程度決定的，完全是主觀判斷。