向量積

作者：王一哲
日期：2019/4/7

向量積 (vector product) 也稱為叉積 (cross product)，在高中數學課本中被稱為外積，但是在數學上有另一個外積 (outer product)，兩者是不同的。假設向量$\mathbf{a}$、$\mathbf{b}$分別定義為

$$\mathbf{a} = (x_1, y_1, z_1)$$
$$\mathbf{b} = (x_2, y_2, z_2)$$

則兩者的向量積為

$$\mathbf{c} = \mathbf{a} \times \mathbf{b} = \begin{vmatrix} \hat i & \hat j & \hat k \\ x_1 & y_1 & z_1 \\ x_2 & y_2 & z_2 \end{vmatrix} = (y_1 z_2 - z_1 y_2, z_1 x_2 - x_1 z_2, x_1 y_2 - y_1 x_2)$$

相當於是向量$\mathbf{a}$、$\mathbf{b}$在空間中形成的平行四邊形的法向量。

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向量積

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繪圖步驟

1. 由於向量積運算的結果會和相乘的兩個向量垂直，必須開啟3D繪圖區才能顯示圖形，我們先由檢視 ⇒ 3D繪圖區或是快速鍵Ctrl+Shift+3開啟3D繪圖區。

開啟3D繪圖區選單

3D繪圖區

2. 用以下指令新增點O、A、B。

O = Point({0, 0, 0})
A = Point({4, 0, 0})
B = Point({2, 3, 4})

3. 用以下指令新增向量u、v。

u = Vector(O, A)
v = Vector(O, B)

4. 將點A沿著向量v平移，畫出點C。

C = Point(A, v)

5. 用以下指令畫出平行四邊形OACB。

Polygon(O, A, C, B)

向量積繪圖步驟1 ~ 5

6. 用以下指令畫出平行四邊形OACB的中點D。

D = Midpoint(O, C)

7. 計算 $\mathbf{u} \times \mathrm{v}$ 並命名為向量w。

w = Cross(u, v)

8. 將點D沿著向量w平移，再畫出向量 $\mathbf{area} = \overrightarrow{DD'}$。

D' = Point(D, w)
area = Vector(D, D')

9. 可以將步驟7、8合併為一行指令。

area' = Vector(D, Point(D, Cross(u, v)))

向量積繪圖最終成果

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相關指令的官方說明書

1. 點 https://wiki.geogebra.org/en/Point_Command
2. 向量 https://wiki.geogebra.org/en/Vector_Command
3. 多邊形 https://wiki.geogebra.org/en/Polygon_Command
4. 中心點 https://wiki.geogebra.org/en/Midpoint_Command
5. 向量積 https://wiki.geogebra.org/en/Cross_Command

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HackMD 版本連結：https://hackmd.io/s/SJOBG9stV