一個地球人在臺北: 三角函數微分推導

作者：王一哲
日期：2019/4/12

由於高中物理課程中會用到三角函數微分，但是現行的數學教材中已經將這部分刪除，所以我將

$\sin x$ 及

$\cos x$ 對

$x$ 的微分推導過程整理在這篇文章中，希望對比較好學的同學能有一些幫助。

方法1：利用代數及極限運算

前置作業

由於三角函數微分的推導會用到以下兩個函數的極限值，需要先推導出來才行。

$\lim_{x \rightarrow 0} \frac{\sin x}{x} = 1$

$\lim_{x \rightarrow 0} \frac{1 - \cos x}{x} = 0$

請參考下圖，圖中的圓形半徑為 1，圓心角為

$x$ ，由於

$x$ 在第一象限中，所有的三角函數值皆為正值或零。

由

$\Delta \mathrm{OBD}$ 可得

$\sin x = \frac{\overline{\mathrm{BD}}}{\overline{\mathrm{OB}}} ~\Rightarrow \overline{\mathrm{BD}} = \sin x$

由

$\Delta \mathrm{OCA}$ 可得

$\tan x = \frac{\overline{\mathrm{AC}}}{\overline{\mathrm{OA}}} ~\Rightarrow \overline{\mathrm{AC}} = \tan x$

由圖中可以看出

$\Delta \mathrm{OBA}$ 、扇形

$\mathrm{OBA}$ 、

$\Delta \mathrm{OCA}$ 三者的面積關係

$\Delta \mathrm{OBA} \leq 扇形 \mathrm{OBA} \leq \Delta \mathrm{OCA}$

$\frac{1}{2} \overline{\mathrm{OA}} \times \overline{\mathrm{BD}} \leq \frac{1}{2} \overline{\mathrm{OA}}^2 \times x \leq \frac{1}{2} \overline{\mathrm{OA}} \times \overline{\mathrm{AC}}$

$\sin x \leq x \leq \tan x$

將上式同除以

$\sin x$ 可得

$1 \leq \frac{x}{\sin x} \leq \frac{1}{\cos x}$

取倒數

$1 \geq \frac{\sin x}{x} \geq \cos x$

當

$x \rightarrow 0$ 時，

$\cos x \rightarrow 1$ ，因此

$\lim_{x \rightarrow 0} \frac{\sin x}{x} = 1$

$\frac{\sin x}{x}$ 的圖形

接下來推導

$\lim_{x \rightarrow 0} \frac{1 - \cos x}{x} = 0$

首先將分子、分母同乘以

$1 + \cos x$ 可得

$\begin{align*} \lim_{x \rightarrow 0} \frac{1 - \cos x}{x} &= \lim_{x \rightarrow 0} \frac{1 - \cos^2 x}{x(1 + \cos x)} \\ &= \lim_{x \rightarrow 0} \frac{\sin^2 x}{x(1 + \cos x)}\\ &= \lim_{x \rightarrow 0} \frac{\sin x}{x} \cdot \lim_{x \rightarrow 0} \frac{\sin x}{1 + \cos x}\\ &= 1 \cdot 0\\ &= 0 \end{align*}$

$\frac{1- \cos x}{x}$ 的圖形

正弦

$\begin{align*} \frac{d}{dx} \sin x &= \lim_{\Delta x \rightarrow 0} \frac{\sin(x + \Delta x) - \sin x}{\Delta x} \\ &= \lim_{\Delta x \rightarrow 0} \frac{\sin x \cos(\Delta x) + \cos x \sin(\Delta x) - \sin x}{\Delta x}\\ &= \lim_{\Delta x \rightarrow 0} \frac{\sin x [ \cos(\Delta x) - 1] + \cos x \sin(\Delta x)}{\Delta x}\\ &= \sin x \left[ \lim_{\Delta x \rightarrow 0} \frac{ \cos(\Delta x) - 1}{\Delta x} \right] + \cos x \left[ \lim_{\Delta x \rightarrow 0} \frac{ \sin(\Delta x)}{\Delta x} \right]\\ &= \cos x \end{align*}$

餘弦

$\begin{align*} \frac{d}{dx} \cos x &= \lim_{\Delta x \rightarrow 0} \frac{\cos(x + \Delta x) - \cos x}{\Delta x} \\ &= \lim_{\Delta x \rightarrow 0} \frac{\cos x \cos(\Delta x) - \sin x \sin(\Delta x) - \cos x}{\Delta x}\\ &= \lim_{\Delta x \rightarrow 0} \frac{\cos x [ \cos(\Delta x) - 1] - \sin x \sin(\Delta x)}{\Delta x}\\ &= \cos x \left[ \lim_{\Delta x \rightarrow 0} \frac{ \cos(\Delta x) - 1}{\Delta x} \right] - \sin x \left[ \lim_{\Delta x \rightarrow 0} \frac{ \sin(\Delta x)}{\Delta x} \right]\\ &= -\sin x \end{align*}$

正切

$\begin{align*} \frac{d}{dx} \tan x &= \frac{d}{dx} \left(\frac{\sin x}{\cos x} \right)\\ &= \frac{1}{\cos x} \frac{d}{dx} \sin x + \sin x \frac{d}{dx} \left( \frac{1}{\cos x} \right)\\ &= 1 + \frac{\sin^2 x}{\cos^2 x}\\ &= \frac{1}{\cos^2 x}\\ &= \sec^2 x \end{align*}$

方法2：利用圖形及面積

正弦

請參考下圖，圖中的圓形半徑為 1，

$\angle \mathrm{BOD} = x$ ，

$\angle \mathrm{COB} = \Delta x$ 。

由

$\Delta \mathrm{OBD}$ 可得

$\sin x = \frac{\overline{\mathrm{BD}}}{\overline{\mathrm{OB}}} ~\Rightarrow \sin x = \overline{\mathrm{BD}}$

由

$\Delta \mathrm{OCE}$ 可得

$\sin (x + \Delta x) = \frac{\overline{\mathrm{CE}}}{\overline{\mathrm{OC}}} ~\Rightarrow \sin (x + \Delta x) = \overline{\mathrm{CE}}$

因此

$\sin (x + \Delta x) - \sin x = \overline{\mathrm{CE}} - \overline{\mathrm{BD}} = \overline{\mathrm{BF}}$

由

$\Delta \mathrm{BCF}$ 可得

$\overline{\mathrm{BF}} = \overline{\mathrm{BC}} \cos x$

當

$\Delta x \rightarrow 0$ 時，

$\overline{\mathrm{BC}} \approx 弧長\mathrm{BC} = \Delta x$

綜合以上條件可得

$\frac{d}{dx} \sin x = \lim_{\Delta x \rightarrow 0} \frac{\sin(x + \Delta x) - \sin x}{\Delta x} = \lim_{\Delta x \rightarrow 0} \frac{\Delta x \cos x}{\Delta x} = \cos x$

餘弦

參考上圖，由

$\Delta \mathrm{OBD}$ 可得

$\cos x = \frac{\overline{\mathrm{OD}}}{\overline{\mathrm{OB}}} ~\Rightarrow \cos x = \overline{\mathrm{OD}}$

由

$\Delta \mathrm{OCE}$ 可得

$\cos (x + \Delta x) = \frac{\overline{\mathrm{OE}}}{\overline{\mathrm{OC}}} ~\Rightarrow \cos (x + \Delta x) = \overline{\mathrm{OE}}$

因此

$\cos (x + \Delta x) - \cos x = \overline{\mathrm{OE}} - \overline{\mathrm{OD}} = -\overline{\mathrm{CF}}$

由

$\Delta \mathrm{BCF}$ 可得

$\overline{\mathrm{CF}} = \overline{\mathrm{BC}} \sin x$

當

$\Delta x \rightarrow 0$ 時，

$\overline{\mathrm{BC}} \approx 弧長\mathrm{BC} = \Delta x$

綜合以上條件可得

$\frac{d}{dx} \cos x = \lim_{\Delta x \rightarrow 0} \frac{\cos(x + \Delta x) - \cos x}{\Delta x} = \lim_{\Delta x \rightarrow 0} \frac{-\Delta x \sin x}{\Delta x} = -\sin x$