馬克士威速率分布圖形

作者：王一哲
日期：2020/7/19

原理

全名為馬克士威 - 波茲曼速率分布 (Maxwell–Boltzmann distribution)，氣體分子的移動速率不會完全相同，氣體分子處於某個速率的機率密度函數為

$$P(v) = 4\pi \left( \frac{m}{2\pi kT} \right)^{\frac{3}{2}} v^2 e^{-\frac{mv^2}{2kT}}$$

上式中 $m$ 是原子質量，$k$ 是波茲曼常數 (Boltzmann constant) $1.38 \times 10^{-23} ~\mathrm{J/K}$，$T$ 是溫度，$v$ 是速率。下圖是維基百科上的圖片。不過我們只要知道函數的樣子，應該就能用函數繪圖軟體畫出一樣的圖片。

Wikipedia 原圖，圖片來源 https://en.wikipedia.org/wiki/File:MaxwellBoltzmann-en.svg

如果想要用 VPython 模擬出類似的結果，請參考 Glowscript 網站範例。

Glowscript 網站範例，圖片來源 https://www.glowscript.org/#/user/GlowScriptDemos/folder/Examples/program/HardSphereGas-VPython

109指考物理科試題解析

作者：王一哲
日期：2020/7/12

試題與詳解

單選題

第1-2題為題組

新型冠狀病毒與流感病毒可使人類感染致病，甚至危害生命，因此必須防止病毒傳播。進出公共場所用額溫槍量測額溫、戴口罩及利用紫外線消滅病毒等都是可行的措施。回答第1-2題。

1. 新型冠狀病毒防疫期間，常使用額溫槍量測人體額溫，下列敘述何者正確？
   (A) 額溫槍量測額溫的物理原理與偵測宇宙背景輻射類似
   (B) 額溫槍偵測的主要波段為紫外線範圍
   (C) 額溫槍偵測到主要波段的輻射強度越強，表示額溫越低
   (D) 額溫槍偵測到最大輻射強度的輻射頻率，隨額溫升高而變小
   (E) 額溫槍需與額頭表面皮膚達熱平衡才能準確量測額溫
   

答案：A
層次：知識
難度：易
章節：近代物理
詳解：
(A) 正確。額溫槍量測額溫的物理原理為維恩位移定律（Wien's displacement law）$\lambda_{max} T = 2.8977729(17) \times 10^{-3} ~\mathrm{m \cdot K}$，與偵測宇宙背景輻射類似。
(B) 錯誤。額溫槍偵測的主要波段為紅外線範圍。
(C) 錯誤。額溫槍偵測到主要波段的輻射強度越強，表示額溫越高。
(D) 錯誤。額溫槍偵測到最大輻射強度的輻射頻率，隨額溫升高而變高。
(E) 錯誤。額溫槍量測額溫的物理原理不是熱平衡。

2. 表面沾有流感病毒的口罩，可使用波長為 253.7 nm 的紫外線-C 照射，破壞病毒的去氧核糖核酸 (DNA) 及核糖核酸 (RNA) 結構，達到消滅病毒的效果。若以強度為 6,600 μW/cm² 的紫外線-C 垂直照射口罩表面 2.0 s，則兩秒鐘內每平方公分的紫外線-C 光子數約為若干？（普朗克常數 $h = 6.63 \times 10^{-34} ~\mathrm{J \cdot s}$，光速 $c = 3 \times 10^8 ~\mathrm{m/s}$）
   (A) $2.4 \times 10^{13}$
   (B) $6.4 \times 10^{14}$
   (C) $8.4 \times 10^{15}$
   (D) $1.7 \times 10^{16}$
   (E) $9.6 \times 10^{17}$
   

答案：D
層次：應用
難度：中
章節：近代物理
詳解：
一個光子的能量
$$E = \frac{hc}{\lambda} = \frac{6.63 \times 10^{-34} \times 3 \times 10^8}{253.7 \times 10^{-9}} \approx 7.84 \times 10^{-19} ~\mathrm{J}$$
兩秒鐘內每平方公分入射光子總能量為
$$E_{total} = 6600 \times 10^{-6} \times 2 = 1.32 \times 10^{-2} ~\mathrm{J}$$
光子數為
$$N = \frac{E_{total}}{E} = \frac{1.32 \times 10^{-2}}{7.84 \times 10^{-19}} \approx 1.68 \times 10^{16}$$

兩個木塊的簡諧運動

作者：王一哲
日期：2020/7/9

題目（改編自101指考非選題二）

質量分別為 $M$ 及 $m$ 的木塊放置於光滑水平面上，兩個木塊之間以彈性常數為 $k$ 的理想彈簧連接。若將兩個木塊向內壓縮 $\Delta L$ 再由靜止釋放木塊，試求以下的物理量。

1. 木塊做簡諧運動週期
2. 木塊做簡諧運動的最大速率
3. 木塊做簡諧運動的振幅

理論分析

木塊做簡諧運動週期

若將 $x$ 軸的原點設定在 $M$ 的位置，則質心與 $M$ 之間的距離為

$$x_C = \frac{mL}{M+m}$$

由於系統的質心位置固定，可以將彈簧從質心位置分割為左、右兩段，長度比為 $m:M$ ，其彈性常數分別為

$$k_M = \frac{M+m}{m} k$$

$$k_m = \frac{M+m}{M} k$$

兩個木塊做簡諧運動的週期分別為

$$T_M = 2 \pi \sqrt{\frac{M}{k_1}} = 2 \pi \sqrt{\frac{Mm}{(M+m)k}}$$

$$T_m = 2 \pi \sqrt{\frac{m}{k_2}} = 2 \pi \sqrt{\frac{Mm}{(M+m)k}}$$

兩個木塊做簡諧運動的週期相等，這樣系統質心位置才會固定，這是合理的計算結果。另一種方法是利用約化質量 (reduced mass)

$$\mu = \frac{Mm}{M+m}$$

簡諧運動的週期為

$$T = 2 \pi \sqrt{\frac{\mu}{k}} = 2 \pi \sqrt{\frac{Mm}{(M+m)k}}$$



2022/5/15 補充說明約化質量的推導過程

假設木塊 $M$ 受的到作用力為 $\mathbf{F_M}$，木塊 $m$ 受的到作用力為 $\mathbf{F_m}$，由於兩者之間用彈簧連接，$M$、$m$、彈簧系統水平方向沒有外力，因此 $$\mathbf{F_M} + \mathbf{F_m} = 0 ~\Rightarrow~ \mathbf{F_m} = -\mathbf{F_M}$$ 兩者的加速度分別為 $$\mathbf{a_M} = \frac{\mathbf{F_M}}{M} ~~~~~ \mathbf{a_m} = \frac{\mathbf{F_m}}{m} = -\frac{\mathbf{F_M}}{m} = -\frac{M}{m} \mathbf{a_M}$$ $M$ 相對於 $m$ 的加速度為 $$\mathbf{a_{Mm}} = \mathbf{a_M} - \mathbf{a_m} = \left( 1 + \frac{M}{m} \right) \mathbf{a_M} = \frac{M+m}{m} \cdot \frac{\mathbf{F_M}}{M} ~\Rightarrow~ \mathbf{F_M} = \frac{Mm}{M+m} \mathbf{a_{Mm}}$$ 若定義約化質量 $$\mu = \frac{Mm}{M+m}$$ 則上式可改寫為 $$\mathbf{F_M} = \mu \mathbf{a_{Mm}}$$ 運用約化質量，可以將兩個物體的運動，簡化成其中一個物體相對於另一個物體的運動。