108學測自然科物理試題解析

作者：王一哲
日期：2019/1/27

試題與詳解

3. 恆星的表面溫度與呈現的星光顏色有關，當我們觀賞夜空中閃爍的恆星，可看出恆星的顏色有白、藍、黃、紅等。下列選項中，顏色產生的原理何者相同？
   (A) 恆星與煙花的火光
   (B) 紅色恆星與紅色的火星
   (C) 藍色恆星與藍色的花
   (D) 紅色恆星與火山熔岩發出的紅光
   (E) 藍色恆星與瓦斯燃燒發出的藍光

答案：D
層次：理解
難度：易
觀念：近代物理—黑體輻射
詳解：恆星表面發出的光可以視為標準的黑體輻射，火山熔岩是因為表面溫度很高而發出紅光，因此與恆星發出紅光的原理相同。

4. 水深越深，波浪的行進速度越快，然而受海底地形起伏影響，當波浪向海岸傳播時，往往會因速度變慢而產生偏折的現象。圖中虛線為等深線，越靠近海岸水深越淺。灰色實線為海浪的波前，箭頭代表波浪的行進方向，假設海底地形變化皆相同，則下列選項何者為最可能的波浪傳播路徑？

答案：B
層次：應用
難度：易
觀念：波—折射
詳解：水波在較深處波速較快，因此當水波由較深處往較淺處前進時，是由波速較快處傳向波速較慢處，前進方向會偏向法線。

NumPy 筆記：平移陣列元素

前言

今天學生問了一個好玩的問題：如果使用已經建立了一個二維陣列，要怎麼做才能將所有的元素向某個方向平移？以下是我找到的作法，請注意，以下的程式碼都省略了 import numpy as np。

方法1：使用索引取出元素

產生陣列

首先我們產生一個 $9 \times 8$ 的陣列，為了一眼就看出每個元素原來的位置，我將第0列皆設定為個位數，第1列皆為1開頭，其餘依此類推。

m, n = 9, 8
a = np.zeros(m * n).reshape(m, n)

for i in range(m):
    for j in range(n):
        a[i][j] = i * 10 + j

print(a)

輸出為

[[ 0.  1.  2.  3.  4.  5.  6.  7.]
 [10. 11. 12. 13. 14. 15. 16. 17.]
 [20. 21. 22. 23. 24. 25. 26. 27.]
 [30. 31. 32. 33. 34. 35. 36. 37.]
 [40. 41. 42. 43. 44. 45. 46. 47.]
 [50. 51. 52. 53. 54. 55. 56. 57.]
 [60. 61. 62. 63. 64. 65. 66. 67.]
 [70. 71. 72. 73. 74. 75. 76. 77.]
 [80. 81. 82. 83. 84. 85. 86. 87.]]

於 Ubuntu 上安裝 Kyocera 多功能事務機驅動程式的方法

環境

1. Ubuntu 18.04 LTS
2. Kyocera TASKalfa 4501i
3. 事務機本身有鎖定帳號，需要登錄帳號才能列印

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步驟

1. 於英文版的官方網站下載驅動程式，網址為https://www.kyoceradocumentsolutions.eu/index/service/dlc.false.driver.TASKALFA4501I._.EN.html#，我選擇的檔案是 Linux PPDs 8.1301 版

Kyocera 官方網站
2. 將下載的檔案解壓縮，我需要的驅動程式是在壓縮檔中的 /EU/English/Kyocera_TASKalfa_4501i.PPD
3. 用文字編輯器開啟 .PPD 檔，找到以下的部分

*KmManagment Default/Off: ""
*KmManagment MG00000000/00000000: "(00000000) statusdict /setmanagementnumber get exec"
*KmManagment MG00000001/00000001: "(00000001) statusdict /setmanagementnumber get exec"
......

NumPy 筆記：陣列 ndarray

前言

NumPy 是 Python 的運算套件，提供陣列 (ndarray)、矩陣 (matrix)……等常用的數學工具，運算速度比 Python 內建的資料格式快很多。NumPy 已經將許多常用的運算寫成函式，如果能善用這些函式，可以大幅加快程式的運算速度。以下是一些我目前常用到的陣列相關函式整理，如果之後有用到新的函式會再新增內容。請注意，以下的程式碼都省略了 import numpy as np。

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產生陣列

手動輸入

一維陣列語法

np.array([元素1, 元素2, 元素3, 元素4, 元素5], dtype = 格式)

二維陣列語法

np.array([(元素11, 元素12, 元素13, 元素14, 元素15), (元素21, 元素22, 元素23, 元素24, 元素25)], dtype = 格式)

數值格式可以是 整數 (int)、浮點數 (float)、複數 (complex)，如果不指定的話系統會自動判斷。
範例：

in[1]:  np.array([1, 2, 3, 4, 5])
out[1]: array([1, 2, 3, 4, 5])
in[2]:  np.array([1, 2, 3, 4, 5], dtype = float)
out[2]: array([1., 2., 3., 4., 5.])
in[3]:  np.array([1, 2, 3, 4, 5], dtype = complex)
out[3]: array([1.+0.j, 2.+0.j, 3.+0.j, 4.+0.j, 5.+0.j])
in[4]:  np.array([(1, 2, 3, 4, 5), (6, 7, 8, 9, 10)], dtype = int)
out[4]: array([[ 1,  2,  3,  4,  5],
               [ 6,  7,  8,  9, 10]])

Python 符號運算套件：SymPy

前言

SymPy 是 Python 的符號運算套件，可以幫助我們計算函數的微分、積分，而且套件裡已經內建了常用的常數和函數，例如圓周率$\pi = 3.14159265358979$、尤拉常數$E = 2.71828182845905$、正弦函數$\sin$。如果已經在電腦上安裝好 Python，接下來只要在文字介面中執行下的指令即可安裝 SymPy

pip install sympy

如果是 Windows 的用戶，可以使用 Windows PowerShell(系統管理員) 替這部電腦所有的使用者安裝，如果是 Linux 的用戶，在執行指令時可能需要在最前面加上 sudo 暫時取得管理者權限。如果只想要試用看看，可以到 SymPy 的官方網站按右上角的 Online Shell 使用線上版的 SymPy Live。

SymPy 官方網站

SymPy Live

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利用殼層定理推導電量均勻分布的球殼產生的電場

球殼外部

高中物理課本或是講義通常會避開這個問題，直接告訴學生經由微積分的計算後，我們可以將所有的電量集中在球心，用球心到該點的距離計算該點的電場，但是某些學生可能覺得無法接受，這時只好請出微積分這個強大的數學工具。推導過程如下：

下圖中A點是我們要計算電場的位置，B點為球殼上的某個點，O點為球心，R為球殼半徑，r為球心到A點的距離，s為A、B的距離，$\theta$為角AOB，$\phi$為角OAB。其中變數為s、$\theta$、$\phi$，但是由餘定理可得
$$\cos \theta = \frac{r^2 + R^2 - s^2}{2rR}$$
$$\cos \phi = \frac{r^2 + s^2 - R^2}{2rs}$$
所以真正的變數只有s。

電量均勻分布的球殼產生的電場（外部）

Matplotlib 繪圖技巧：讀取數據及線性擬合

前言

對於物理實驗而言，我們在處理數據時通常會繪製 xy 散佈圖，將應變變因的數值畫在 y 軸、操縱變因的數值畫在 x 軸，如果數據點分布在一條斜直線上，就可以利用最小平方法找出最接近直線的斜率和截距，再利用物理定律解釋斜率和截距的成因。但如果數據點不是分布在一條斜直線上，就要先想辦法處理數據，圖形化為直線。

以雙狹縫干涉的實驗為例，假設雷射光波長為 $\lambda$ 、狹縫間距為 $d$ 、狹縫與屏幕間的距離為 $L$，則干涉的寬度
$$\Delta y = \frac{\lambda L}{d}$$
如果我們固定 $\lambda$ 和 $d$，改變 $L$ 並測量 $\Delta y$，再畫出 $\Delta y - L$ 關係圖，這些數據點應該會分布在一條斜直線上，而且斜率 = $\frac{\lambda}{d}$、截距 = 0。

如果我們固定 $\lambda$ 和 $L$，改變 $d$ 並測量 $\Delta y$，再畫出 $\Delta y - d$ 關係圖，這些數據點會分布在一條曲線上。如果我們猜測 $\Delta y$ 和 $d$ 成反比，應該要計算 $1/d$，再畫出 $\Delta y - 1 / d$ 關係圖，如果數據點分布在一條斜直線上，才能證明 $\Delta y$ 和 $d$ 成反比。由理論式可知，直線的斜率 = $\lambda L$、截距 = 0。

左：雙狹縫干涉 Δy - d 關係圖；右：雙狹縫干涉 Δy - 1/d 關係圖

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GeoGebra 繪圖技巧：反比函數

我們在〈Matplotlib 繪圖技巧：在同一張圖上繪製兩個函數、兩張圖並列〉中使用 Matplotlib 繪製反比及平方反比的函數圖形，但如果想要在函數的曲線上，沿著 x 軸方向每隔一段固定的距離畫一個點，再標示出對應的 y 軸數值，使用 Matplotlib 會有一點複雜。如果改用 GeoGebra 會比較簡單一點，成果如下圖，這個檔案的 GeoGebra 網頁版連結為 https://ggbm.at/p4hzbuza

反比函數圖形

Matplotlib 繪圖技巧：在同一張圖上繪製兩個函數、兩張圖並列

我們在〈冰與水蒸氣混合達熱平衡時溫度與質量比值關係圖〉中使用 Matplotlib 繪製單一的函數圖形，但如果我們想在同一張圖上繪製兩個函數，或是將兩張圖並列畫在同一張圖片中時要怎麼做呢？

我們以兩個點電荷之間的靜電力和電位能與距離的關係為例，假設點電荷的電量分別為 Q 和 q，兩者之間的距離為 r，則兩者之間的靜電力量值
$$F = \frac{kQq}{r^2}$$
電位能量值
$$U = \frac{kQq}{r}$$
由於使用 Matplotlib 繪圖時必須代入數值，我將數值設定為 $Q = 1 \times 10^{-4} ~\mathrm{C}$、$q = 1 \times 10^{-4} ~\mathrm{C}$、$0.01 \leq r \leq 10~\mathrm{m}$，r 不從 0 開始畫是為了避免靜電力和電位能量值變為無窮大。接著我們來繪製函數圖形。

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在同一張圖上繪製兩個函數

我們希望圖片能有以下的特點：

1. 用不同的顏色繪製不同的函數
2. 加上圖例、格線、坐標軸標籤
3. 設定縱軸繪圖範圍

成果如下圖所示，使用的程式碼如下。

在同一張圖上繪製靜電力、電位能與距離的關係圖

冰與水蒸氣混合達熱平衡時溫度與質量比值關係圖

題目

假設 0°C 的冰塊質量為 M₁，100°C 的水蒸氣質量為 M₂，將兩者放入絕熱容器內達到熱平衡時的溫度為 T，請畫出 T 與質量比值 M₁ / M₂ 的關係圖。（水的熔化熱為 80 cal/g，水的汽化熱為 540 cal/g）

解答

假設平衡時的溫度為 T，由於系統與外界沒有熱交換，冰塊吸收的熱等於水蒸氣釋放的熱，因此
$$M_1 \times 80 + M_1 \times 1 \times (T-0) = M_2 \times 540 + M_2 \times 1 \times (100 - T)$$
$$\frac{M_1}{M_2} \times 80 + \frac{M_1}{M_2} \times T = 640 - T$$
若$\frac{M_1}{M2} \equiv x$，則上式可改為
$$80x+xT = 640−T$$
$$T=\frac{640−80x}{x+1}$$
若 $x < 3$ 代入上式則 $T > 100$，代表水蒸氣沒有用完，此時水與水蒸氣共存 $T = 100$；若 $x > 8$ 代入上式則 $T < 0$，代表冰塊沒有用完，此時水與冰塊共存 $T = 0$。因此 $$T(x) = \begin{cases} 100 & \text{ if } x < 3 \\ 0 & \text{ if } x > 8 \\
\frac{640 - 80x}{x + 1} & \text{ if } 3 \leq x \leq 8
\end{cases}$$
很明顯地，這個函數圖形並不好畫，我們需要使用一些輔助工具會比較方便。