作者：王一哲
日期：2019/12/1
前言
我最近在 YouTube 上看到李永樂老師的一部影片：
家長輔導小學生作業崩潰：抽出我“40米長大砍刀”，你有幾秒逃生時間？，李老師在影片中很正經地用物理理論，計算40米長大砍刀轉動落下所需時間，這樣一本正經地講解奇怪的東西也挺有趣的。以下用兩種方法計算類似的問題，但是為了使情境稍微正常一點，我將物體改為長度為$L = 1 ~\mathrm{m}$、質量均勻分布的木棍，下端立於水平桌面上，木棍與桌面的夾角$\theta$原為89°，並假設落下過程中木棍不會滑動。
理論計算
假設木棍的質量為$m$且質量均勻分布，長度$L = 1 ~\mathrm{m}$，下端立於水平桌面上，木棍與桌面的夾角原為$\theta_0 = 89^{\circ}$，受到重力作用由靜止開始落下，重力加速度$g = 9.8~\mathrm{m/s^2}$
若以下端為轉軸，則轉動慣量
$$I = \frac{1}{3}mL^2$$
重力產生的力矩
$$\tau = \frac{1}{2}mgL \cos \theta$$
角加速度
$$\alpha = \frac{\tau}{I} = \frac{3g \cos \theta}{2L}$$
由於轉動動能
$$K = \frac{1}{2}I \omega^2$$
當木棍與水平方向夾角為$\theta$時，角速度為$\omega$，由力學能守恆可得
$$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{3}mL^2 \cdot \omega^2 + \frac{1}{2}mgL \sin \theta = 0 + \frac{1}{2}mgL \sin \theta_0$$
$$\omega = \sqrt{\frac{3g(\sin \theta_0 - \sin \theta)}{L}}$$
假設木棍轉動一個很小的角位移$d \theta$，由於$\omega$與$d \theta$反方向，所需時間為
$$dt = -\frac{d \theta}{\omega}$$
當角度由$\theta_0$變為$\theta$時，可以算出經過的時間
$$t = \int_0^t dt = \int_{0}^{\theta_0} \frac{d \theta}{\omega} = \sqrt{\frac{L}{3g}}\int_{0}^{\theta_0} (\sin \theta_0 - \sin \theta)^{-\frac{1}{2}} d \theta$$
無法得到解析解，可以求數值解。利用SymPy計算角度$\theta$由$89^{\circ}$開始，變為$88^{\circ}$、$87^{\circ}$、……、$0^{\circ}$所經過的時間，程式碼寫法如下
