一個地球人在臺北: 偏向角

2010年2月18日星期四

偏向角

我在解奧林匹亞初試1995年第一部分第7題時遇到問題，

那題要計算光線平行入射到頂角( $\alpha$ )為4度的等腰稜鏡後，透射光與入射光的夾角是幾度。解答的公式為

偏向角 $\delta = (n-1) \alpha$

推導過程：
由光學下圖可知

$\delta=\theta_{i1}+\theta_{t2}-\alpha$ $\alpha = \theta_{t1} + \theta_{i2}$

再由Snell's law可知

$\sin \theta_{i1}=n \sin \theta_{t1}$ $\sin \theta_{t2}=n \sin \theta_{i2}$

因為此題的入射角 $\theta_{i1}=\frac{\alpha}{2} = 2^{\circ}$ ，因此 $\theta_{i1}$ 、 $\theta_{t1}$ 、 $\theta_{i2}$ 、 $\theta_{t2}$ 皆很小，故

$\sin \theta_{i1}=n \sin \theta_{t1} \Rightarrow \theta_{i1}=n \theta_{t1}$
$\sin \theta_{t2}=n \sin \theta_{i2} \Rightarrow \theta_{t2}=n \theta_{i2}$

因此

$\delta = \theta_{i1} + \theta_{t2} - \alpha = n (\theta_{t1} + \theta_{i2}) - \alpha = (n-1) \alpha$

附註：如果頂角 $\alpha$ 不是小角度時，其偏向角

$\delta = \theta_{i1} + \sin^{-1}[(\sin \alpha)(n^2 -\sin^2 \theta_{i1})^{1/2} - \sin \theta_{i1} \cos \alpha] - \alpha$

很難由本式直接得到 $\delta = (n-1) \alpha$

附註2：數學式子的顯示似乎不太正常，用Firefox及IE應該只能看到原來的LaTeX編碼，目前只有當我用Google Chrome開啟才會正常顯示。

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