圓的漸開線

作者：王一哲
日期：2021/2/5

原理

漸開線的英文為 involute 或 evolute。假設B為圓周上的點，B點繞圓心O旋轉的弧長為L，在過B點的切線上有一個P點，BP的距離等於 L，則P點的軌跡為圓的漸開線，圓的漸開線常用來作為齒輪邊緣的形狀。若使用參數式則為 $$ x = a (\cos t + t \sin t) $$ $$ y = a (\sin t - t \cos t) $$ 以下是使用 GeoGebra 繪製圓的漸開線成果。

使用 GeoGebra 繪製圓的漸開線動畫

繪圖步驟

1. 輸入指令設定半徑r、角速度ω、週期T。

   r = 1
   ω = 1
   T = 2*π/ω
   

2. 輸入指令設定控制時間 t 的數值拉桿，再開啟屬性選單，將動畫設定為**遞增（一次）**。

   t = Slider(0, 2*T, 0.01*T)
   

3. 輸入指令畫出圓心O點以及半徑為r的圓形c。

   O = Point({0, 0})
   c = Circle(O, r)
   


繪圖步驟1 ~ 3


4. 使用點工具於圓形c上新增點A，再將點A拉到圓形c的左方。
5. 輸入指令畫出繞著O點順時鐘方向旋轉的B點，再隱藏點A。

   B = Rotate(A, -ω t, O)
   


繪圖步驟4、5


6. 輸入指令計算B點繞著O點旋轉的弧長 arclen。

   arclen = r*ω*t
   

7. 輸入指令新增射線OB並命名為f。

   f = Ray(O, B)
   

8. 輸入指令新增通過B點的切線g。

   g = Tangent(B, c)
   

9. 使用點工具於切線g上、B點的下方新增C點。

繪圖步驟6 ～ 9


10. 輸入指令新增通過B、C點的向量u，計算向量u的單位向量direct。

    u = Vector(B, c)
    direct = u / Length(u)
    

11. 輸入指令將B向沿著向量direct的方向平移距離arclen，平移後的點命名為P。

    P = Translate(B, direct*arclen)
    

12. 顯示移動P點的移動軌跡。

    SetTrace(P, True)
    

13. 輸入指令通過B、P點的射線h。

    h = Ray(B, C)
    


繪圖步10 ~ 13


14. 輸入指令用參數式畫出圓的漸開線，由於t已經被用來表示時間，故參數式中改用t1。

    theory = Curve((-r*(cos(t1) + t1*sin(t1)), r*(sin(t1) - t1*cos(t1))), t1, 0, 4*π)
    

使用 GeoGebra 繪製圓的漸開線動畫

相關指令的官方說明書

1. 數值滑桿 https://wiki.geogebra.org/en/Slider_Command
2. 點 https://wiki.geogebra.org/en/Point
3. 圓 https://wiki.geogebra.org/en/Circle_Command
4. 旋轉 https://wiki.geogebra.org/en/Rotate_Command
5. 射線 https://wiki.geogebra.org/en/Ray_Command
6. 切線 https://wiki.geogebra.org/en/Tangent_Command
7. 向量 https://wiki.geogebra.org/en/Vector
8. 設定軌跡 https://wiki.geogebra.org/en/SetTrace_Command
9. 曲線 https://wiki.geogebra.org/en/Curve_Command

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HackMD 版本連結：https://hackmd.io/@yizhewang/rJEZ-85xO