連結體上升最大高度

作者：王一哲
日期：2011年2月12日
取材自李建明（主編）(2009)。高中物理解題指引。廣州：廣東教育出版社。第139頁第7題

試題

如下圖所示，物塊 $A$ 的質量為 $M$，物塊 $B$、$C$ 的質量都是 $m$，並都可看作質點，且 $m < M < 2m$。三物塊用細線通過滑輪連接，物塊 $B$ 與物塊 $C$ 的距離和物塊 $C$ 到地面的距離都是 $L$。現將物塊 $A$ 下方的細線剪斷，若物塊 $A$ 距滑輪足夠遠且不計一切阻力。求：(1) 物塊 $A$ 上升時的最大速度；(2) 物塊 $A$上升的最大高度

答案

(1) 物塊 $A$ 上升時的最大速度 $$ v = \sqrt{\frac{2m - M}{2m + M} \cdot 2gL} $$ (2) 當 $m < M < \sqrt{2} m$ 時 $$ H = \frac{2 (4 m^2 + 3 Mm)}{(2m + M)(M + m)} \cdot L $$ 當 $\sqrt{2} m < M < 2 m$ 時 $$ H = \frac{2 Mm}{(M - m)(2m + M)} \cdot L $$

解析

第1小題

假設當 $C$ 落地時，$A$、$B$、$C$ 的速度大小為 $v$；且 $C$ 落地後，因為 $M > m$，使 $A$ 開始減速，故此時的速度為最大值。假設 $A$ 原來的高度為 $h_A$，由力學能守恆可得 $$ Mgh_A + mgL + mg \cdot 2L = \frac{1}{2}Mv^2 + \frac{1}{2} mv^2 + \frac{1}{2} mv^2 + Mg(h_A + L) + mgL $$ $$ (M + 2m) v^2 = 2gL(2m - M) $$ $$ v = \sqrt{\frac{2m - M}{2m + M} \cdot 2gL} $$

第2小題

本小題需要分為 $B$ 能落地及 $B$ 不能落地兩種情況來討論。 狀況1：$B$ 能落地，假設此時 $A$、$B$ 的速度大小為 $v_1$，由力學能守恆可得 $$ \frac{1}{2}Mv_1^2 + \frac{1}{2}mv_1^2 + Mg (h_A + 2L) = \frac{1}{2}Mv^2 + \frac{1}{2} mv^2 + \frac{1}{2} mv^2 + Mg(h_A + L) + mgL $$ $$ v_1^2 = v^2 + \frac{2gL(m - M)}{M + m} = 4gL \cdot \frac{2m^2 - M^2}{(2m + M)(M + m)} = 4gL \cdot \frac{(\sqrt 2 m + M)(\sqrt 2 m - M)}{(2m + M)(M + m)} $$ 因為 $B$ 能落地，故 $$ v_1 > 0 \Rightarrow \sqrt 2 m - M > 0 \Rightarrow m < M < \sqrt 2 m $$ $B$ 落地後，$A$ 只受重力作用，$A$ 的加速度為重力加速度 $g$ 向下，因此 $A$ 可再上升高度 $h$，由鉛直上抛可得 $$ 0 = v_1^2 + 2 \times (-g) \times h \Rightarrow h = \frac{v_1^2}{2g} = 2L \cdot \frac{2m^2 - M}{(2m + M)(M + m)} $$ $A$ 可上升的最大高度 $$ H = 2L + h = 2L \left [ 1 + \frac{2m^2 - M}{(2m + M)(M + m)} \right ] = \frac{2 (4 m^2 + 3 Mm)}{(2m + M)(M + m)} \cdot L $$
狀況2：$B$ 不能落地，故假設 $C$ 落地後，$A$、$B$ 間繩子張力為 $F$，加速度大小為 $a$，由牛頓第二運動定律可得 $$ A:~Mg - F = Ma ~~~~~ B: F - mg = ma $$ 兩式相加可得 $$ (M - m) g = (M + m) a \Rightarrow a = \frac{M - m}{M + m} \cdot g $$ $A$ 在 $C$ 落地後可再上升高度 $h$，由鉛直上抛可得 $$ 0 = v^2 + 2 \times (-g) \times h \Rightarrow h = \frac{v^2}{2g} = L \cdot \frac{(M + m)(2m - M)}{(M - m)(2m + M)} $$ $A$ 可上升的最大高度 $$ H = L + h = L \left[ 1 + \frac{(M + m)(2m - M)}{(M - m)(2m + M)} \right] = \frac{2 Mm}{(M - m)(2m + M)} \cdot L $$