一個地球人在臺北: 電子荷質比

作者：王一哲
日期：2018/5/12

測量電子荷質比的實驗裝置圖如下，外觀與速度選擇器十分相似，因此我們將〈速度選擇器〉的程式稍微修改一下，就能夠做出電子荷質比實驗的動畫。　（GlowScript 網站動畫連結）

實驗裝置示意圖

理論分析

請參考上圖，粒子質量為 $m$、電量為 $-q$，以向右的水平速度 $v_0$ 進入向下的均勻電場 $E$，平行帶電板的長度為 $L$，平行帶電板右側與屏幕間的距離為 $D$。若只考慮靜電力的作用，粒子在電場的加速度向上為

$$ a = \frac{qE}{m} $$

水平方向沒有外力，等速度前進，因此在電場中運動的時間為

$$ t_1 = \frac{L}{v_0} $$

向上的位移為

$$ y_1 = \frac{1}{2}at^2 = \frac{1}{2} \cdot \frac{qE}{m} \cdot \left( \frac{L}{v_0} \right)^2 = \frac{qEL^2}{2mv_0^2} $$

粒子在離開電場時向上的速度為

$$ v_y = at_1 = \frac{qE}{m} \cdot \frac{L}{v_0} = \frac{qEL}{mv_0} $$

粒子在電場外不受外力，為等速度直線運動，在電場外運動的時間為

$$ t_2 = \frac{D}{v_0} $$

向上的位移

$$ y_2 = v_y t_2 = \frac{qEL}{mv_0} \cdot \frac{D}{v_0} = \frac{qELD}{mv_0^2} $$

向上的位移總和為

$$ y = y_1 + y_2 = \frac{qEL^2}{2mv_0^2} + \frac{qELD}{mv_0^2} = \frac{qEL}{2mv_0^2}(L+2D) $$

帶電粒子的荷質比為

$$ \frac{q}{m} = \frac{2yv_0^2}{EL(L+2D)} $$

電場量值可由平行帶電板的電壓與距離求得，粒子初速度 \$v_0 \$ 可以由速度選擇器控制，因此實驗中除了荷質比之外的數據都是可以測量的。

程式 21-1.電子荷質比

取得程式碼

"""
 VPython教學: 21-1.電子荷質比
 Ver. 1: 2018/4/8
 Ver. 2: 2019//9/16
 作者: 王一哲
"""
from vpython import *

"""
 1. 參數設定, 設定變數及初始值
"""
size, m, q, v0 = 0.005, 2E-11, -2E-9, 25   # 粒子半徑, 質量, 電量, 水平速度
V, d, L = 1, 0.1, 0.2      # 平行帶電板間的電壓, 距離, 長度
E_field = vec(0, -V/d, 0)  # 電場
t, dt = 0, 1E-5            # 時間, 時間間隔

"""
 2. 畫面設定
"""
# 產生動畫視窗、平行帶電板、水平線、帶電粒子
scene = canvas(title="Mass-to-Charge Ratio", width=800, height=600, x=0, y=0,
               center=vec(0, 0, 0), background = color.black, range=1.2*L)
p1 = box(pos=vec(-L/2, d/2, 0), size=vec(L, 0.01*L, L), color=color.blue)
p2 = box(pos=vec(-L/2, -d/2, 0), size=vec(L, 0.01*L, L), color=color.blue)
screen = box(pos=vec(L, 0, 0), size=vec(0.01*L, 1.5*L, L), color=color.blue)
line = cylinder(pos=vec(-1.5*L, 0, 0), radius=0.2*size, axis=vec(3*L, 0, 0), color=color.yellow)
charge = sphere(pos=vec(-1.5*L, 0, 0), v=vec(v0, 0, 0), radius=size, color=color.red, m=m, make_trail=True)
# 產生表示電場的箭頭及標籤
arrow_E = arrow(pos=vec(-L, d/2, 0), axis=vec(0, -0.1, 0), shaftwidth=size, color=color.green)
label_E = label(pos=vec(-L, d/2, 0), text="E", xoffset=-25, yoffset=25, color=color.green, font="sans")
# 產生表示速度、加速度的箭頭
arrow_v = arrow(pos=charge.pos, shaftwidth=0.3*size, color=color.cyan)
arrow_a = arrow(pos=charge.pos, shaftwidth=0.3*size, color=color.magenta)

"""
 3. 物體運動部分, 當帶電粒子到達屏幕或撞到平行帶電板時停止
"""
xp = charge.pos.x
while(0 < charge.pos.x < screen.pos.x - screen.length/2 - size or \
      (charge.pos.x < 0 and abs(charge.pos.y) < d/2 - p1.height - size)):
    rate(500)
# 計算帶電粒子所受合力, 在平行帶電板間才有電場
    if(-L <= charge.pos.x <= 0): F = q*E_field
    else: F = vec(0, 0, 0)
# 更新帶電粒子加速度、速度、位置
    charge.a = F/m
    charge.v += charge.a*dt
    charge.pos += charge.v*dt
# 更新表示速度、加速度的箭頭, 只畫出方向以避免動畫自動縮小
    arrow_v.pos = charge.pos
    arrow_a.pos = charge.pos
    arrow_v.axis = charge.v.norm()*0.05
    arrow_a.axis = charge.a.norm()*0.05
# 當帶電粒子離開平行帶電板時畫出水平線標示 y 方向位移
    xc = charge.pos.x
    if(xp < 0 and xc > 0):
        line2 = cylinder(pos=vec(-1.5*L, charge.pos.y, 0), radius=0.2*size,
                         axis=vec(3*L, 0, 0), color=color.yellow)
    xp = xc
# 更新時間
    t += dt

參數設定

在此設定變數為size、m、v0、q、V、d、L、E_field、t、dt，用途已寫在該行的註解當中。為了使動畫較為順暢，刻意將粒子的電量、質量調大很多。

畫面設定

產生動畫視窗、平行帶電板、水平線、帶電粒子。平行帶電板位於 -L < x < 0 之間。

產生表示電場、磁場的箭頭及標籤。

產生表示速度、加速度的箭頭。

物體運動

為了使動畫在帶電粒子到達屏幕或撞到平行帶電板時停止，將 while 迴圈當中的條件設定為 0 < charge.pos.x < screen.pos.x - screen.length/2 - size or (charge.pos.x < 0 and abs(charge.pos.y) < d/2 - p1.height - size)
1. 第1組條件的功能：當粒子在電場外及屏幕之間時，動畫會持續運作。
2. 第2組條件的功能：當粒子在電場中且沒有撞到平行帶電板時，動畫會持續運作。
計算帶電粒子所受合力，由於平行帶電板間才有電場，在平行帶電板外設為零。
更新帶電粒子加速度、速度、位置。
更新表示速度、加速度的箭頭，只畫出方向以避免動畫自動縮小。
為了在帶電粒子離開平行帶電板時畫出水平線，需要定義變數 xp 和 xc，xp 為粒子在前一個時刻的位置，xc 為粒子現在的位置。若 xp < 0 且 xc > 0，代表粒子正好離開平行帶電板，利用 cylinder 指令畫出平行線。
更新時間。