質譜儀

作者：王一哲
日期：2018/5/13




有5種粒子以相同之速度垂直進入均勻磁場B，其軌跡如下圖所示。設此5種粒子為：碳原子(12^C)、氧離子(¹⁶O^2-)、鈉離子(²³Na⁺)、鎂離子(²⁴Mg²⁺)及氯離子(³⁵Cl^-)。若不考慮重力因素，則圖中1、2、3、4及5之示意軌跡分別代表何者？

粒子在質譜儀中運動軌跡示意圖

這是84年日大聯招的題目，雖然年代已經很久遠，但在坊間各家的參考書中仍然可以找到這個題目。當粒子向上進入磁場時，帶正電粒子所受的磁力向左，帶負電粒子所受的磁力向右，電中性的粒子沒有受到磁力。若以磁力當作向心力，在磁場中做等速率圓周運動，則

$$ qvB = m \cdot \frac{v^2}{R} ~\Rightarrow~ R = \frac{mv}{qB} \propto \frac{m}{q} $$

因此本題的答案為²³Na⁺、²⁴Mg²⁺、12^C、¹⁶O^2-、³⁵Cl^-。這次我們要試著用 VPython 將粒子在質譜儀中的運動過程畫出來。

程式 23-1.質譜儀

取得程式碼
GlowScript 網站動畫連結

"""
 VPython教學: 23-1.質譜儀
 Ver. 1: 2018/4/8
 Ver. 2: 2019/9/19
 作者: 王一哲
"""
from vpython import *

"""
 1. 參數設定, 設定變數及初始值
"""
size, m, q = 0.01, 1E-10, 2E-8  # 粒子半徑, 質量, 電量
v0 = vec(0, 10, 0)              # 粒子初速度
# 用 dictionary 儲存的粒子資料, 用 list 儲存的粒子名稱
masses = {"C": 12*m, "O": 16*m, "Na": 23*m, "Mg": 24*m, "Cl": 35*m}
charges = {"C": 0, "O": -2*q, "Na": q, "Mg": 2*q, "Cl": -q}
colors = {"C": color.red, "O": color.yellow, "Na": color.orange, "Mg": color.white, "Cl": color.green}
particles = ["C", "O", "Na", "Mg", "Cl"]
L = 0.4                         # 金屬板長度
B_field = vec(0, 0, -10)        # 磁場
t, dt = 0, 1E-5                 # 時間, 時間間隔

"""
 2. 畫面設定
"""
# 產生動畫視窗、金屬板
scene = canvas(title="Mass Spectrometer", width=800, height=600, x=0, y=0,
               center=vec(0, 0, 0), background=color.black)
p1 = box(pos=vec(-0.55*L, 0, 0), size=vec(L, 0.01*L, 0.1*L), color=color.blue)
p2 = box(pos=vec(0.55*L, 0, 0), size=vec(L, 0.01*L, 0.1*L), color=color.blue)
# 產生帶電粒子
name = particles[0]
particle = sphere(pos=vec(0, -L/3, 0), v=v0, radius=size, m=masses[name],
                  q=charges[name], color=colors[name], make_trail=True)
# 產生表示磁場的箭頭及標籤
arrow_B = arrow(pos=vec(-0.5*L, 0.5*L, 0), axis=vec(0, 0, -0.1), shaftwidth=size, color=color.green)
label_B = label(pos=vec(-0.5*L, 0.5*L, 0), text="B", xoffset=25, yoffset=25, color=color.green, font="sans")
# 產生表示速度、加速度的箭頭
arrow_v = arrow(pos=particle.pos, shaftwidth=0.5*size, color=color.cyan)
arrow_a = arrow(pos=particle.pos, shaftwidth=0.5*size, color=color.magenta)

"""
 3. 物體運動部分
"""
while((abs(particle.pos.x) < 0.1*size and particle.pos.y < L/2) or \
      (abs(particle.pos.x) > 0 and particle.pos.y > p1.height/2 + size)):
    rate(1000)
# 計算帶電粒子所受合力, 更新帶電粒子加速度、速度、位置
    if(particle.pos.y > p1.height/2 + size): F = particle.q*cross(particle.v, B_field)
    else: F = vec(0, 0, 0)
    particle.a = F/particle.m
    particle.v += particle.a*dt
    particle.pos += particle.v*dt
# 更新表示速度、加速度的箭頭, 只畫出方向以避免動畫自動縮小
    arrow_v.pos = particle.pos
    arrow_a.pos = particle.pos
    arrow_v.axis = particle.v.norm()*0.1
    arrow_a.axis = particle.a.norm()*0.1
# 更新時間
    t += dt

參數設定

在此設定變數為size、m、q、masses、charges、colors、particles、v0、L、B_field、t、dt，用途已寫在該行的註解當中。為了使動畫較為順暢，刻意將粒子的電量、質量調大很多。

畫面設定

1. 產生動畫視窗、金屬板。
2. 產生帶電粒子，可以選擇粒子的名稱，程式會從masses、charges、colors讀取粒子的資料。
3. 產生表示磁場的箭頭及標籤。
4. 產生表示速度、加速度的箭頭。

物體運動

1. while 迴圈當中的條件設定為 (abs(particle.pos.x) < 0.1*size and particle.pos.y < L/2) or (abs(particle.pos.x) > 0 and particle.pos.y > p1.height/2 + size)
   
   1. 第1個條件：當粒子沒有偏轉（-0.1*size < x < 0.1*size）而且還沒有到達畫面最上方時（particle.pos.y < L/2），動畫繼續執行。
   
   
   2. 第2個條件：當粒子向左或向右偏轉（abs(particle.pos.x) > 0）而且還沒有撞到金屬板時（particle.pos.y > p1.height/2 + size），動畫繼續執行。
   
   
2. 計算帶電粒子所受合力，更新帶電粒子加速度、速度、位置。
3. 更新表示速度、加速度的箭頭，只畫出方向以避免動畫自動縮小。
4. 更新時間。

模擬結果

以下是3種不同粒子的執行結果。程式 23-1 是測試用的，一次輸入一個粒子的資料並觀察執行的結果，接下來要用 for 迴圈一口氣將 5 個粒子的軌跡畫出來。

程式 23-1：¹²C 畫面截圖

程式 23-1：¹⁶O^2- 畫面截圖

程式 23-1：²³Na⁺ 畫面截圖

程式 23-2.質譜儀, 用 for 迴圈自動跑完 5 種粒子

取得程式碼
GlowScript 網站動畫連結

"""
 VPython教學: 23-2.質譜儀, 用 for 迴圈自動跑完 5 種粒子
 Ver. 1: 2018/4/8
 Ver. 2: 2019/9/19
 作者: 王一哲
"""
from vpython import *

"""
 1. 參數設定, 設定變數及初始值
"""
size, m, q = 0.01, 1E-10, 2E-8  # 粒子半徑, 質量, 電量
v0 = vec(0, 10, 0)              # 粒子初速度
# 用 dictionary 儲存的粒子資料, 用 list 儲存的粒子名稱
masses = {"C": 12*m, "O": 16*m, "Na": 23*m, "Mg": 24*m, "Cl": 35*m}
charges = {"C": 0, "O": -2*q, "Na": q, "Mg": 2*q, "Cl": -q}
colors = {"C": color.red, "O": color.yellow, "Na": color.orange, "Mg": color.white, "Cl": color.green}
labels = {"C": "C", "O": "<sup>16</sup>O<sup>2-</sup>", "Na": "<sup>23</sup>Na<sup>+</sup>", 
          "Mg": "<sup>24</sup>Mg<sup>2+</sup>", "Cl": "<sup>35</sup>Cl<sup>-</sup>"}
particles = ["C", "O", "Na", "Mg", "Cl"]
L = 0.4                         # 金屬板長度
B_field = vec(0, 0, -10)        # 磁場
t, dt = 0, 1E-5                 # 時間, 時間間隔


"""
 2. 畫面設定
"""
# 產生動畫視窗、金屬板
scene = canvas(title="Mass Spectrometer", width=800, height=600, x=0, y=0,
               center=vec(0, 0, 0), background=color.black)
p1 = box(pos=vec(-0.55*L, 0, 0), size=vec(L, 0.01*L, 0.1*L), color=color.blue)
p2 = box(pos=vec(0.55*L, 0, 0), size=vec(L, 0.01*L, 0.1*L), color=color.blue)
# 產生表示磁場的箭頭及標籤
arrow_B = arrow(pos=vec(-0.5*L, 0.5*L, 0), axis=vec(0, 0, -0.1), shaftwidth=size, color=color.green)
label_B = label(pos=vec(-0.5*L, 0.5*L, 0), text="B", xoffset=25, yoffset=25, color=color.green, font="sans")

"""
 3. 用 for 迴圈自動跑完 5 種粒子
"""
for name in particles:
# 產生帶電粒子
    particle = sphere(pos=vec(0, -L/3, 0), v=v0, radius=size, m=masses[name], q=charges[name], 
                      color=colors[name], make_trail=True, retain=1000)
# 物體運動部分
    while((abs(particle.pos.x) < 0.1*size and particle.pos.y < L/2) or \
          (abs(particle.pos.x) > 0 and particle.pos.y > p1.height/2 + size)):
        rate(1000)
# 計算帶電粒子所受合力, 更新帶電粒子加速度、速度、位置
        if(particle.pos.y > p1.height/2 + size): F = particle.q*cross(particle.v, B_field)
        else: F = vec(0, 0, 0)
        particle.a = F/particle.m
        particle.v += particle.a*dt
        particle.pos += particle.v*dt
# 更新時間
        t += dt
# 粒子標籤
    particle_label = label(pos=particle.pos, text=labels[name], xoffset=25, yoffset=25,
                           color=colors[name], font = "sans")

程式設計部分

程式 23-2 和 23-1 很像，以下只說明修改之處。

1. 加上粒子標籤資料 labels，由於 VPython 的標籤支援 html 語法，可以做出上標、下標的效果。 之間的文字為上標， 之間的文字為下標。
2. 用 for 迴圈讀取粒子的名稱，並將產生粒子及粒子運動部分的 while 迴圈放到 for 迴圈當中，當 while 迴圈執行完畢時加上粒子的標籤。

模擬結果

以下是程式 23-2 的執行結果，可以看到粒子的迴轉半徑與 m/q 成正比。

程式 23-2 畫面截圖

結語

以前遇到這類的題目時，總是根據計算得到的結果畫示意圖，用 VPython 計算粒子在每個時刻的受力，再將整個運動過程畫出來，感覺上比較真實。也可以試著改變粒子的質量和電量，看看會有什麼變化。

VPython官方說明書

1. canvas: http://www.glowscript.org/docs/VPythonDocs/canvas.html
2. box: http://www.glowscript.org/docs/VPythonDocs/box.html
3. sphere: http://www.glowscript.org/docs/VPythonDocs/sphere.html
4. arrow: http://www.glowscript.org/docs/VPythonDocs/arrow.html
5. label: http://www.glowscript.org/docs/VPythonDocs/label.html

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HackMD 版本連結：https://hackmd.io/@yizhewang/rJZF_t_f7