一個地球人在臺北: 二次曲線光學性質

二次曲線光學性質

日期：2018/2/12

更新：

感謝晞安老師提醒，雙曲線也有光學性質，從一個焦點發出的光線經過雙曲線反射後，反射光的延長線會經過另一個焦點。

以前在高中數學會學到二次曲線的光學性質：1. 從橢圓其中一個焦點發出的光，經過橢圓面反射後會通過另一個焦點。 2. 平行主軸的入射光經過抛物面反射後會匯聚在焦點。基本上物理只會用到抛物面，不過我把兩個圖都畫出來，GeoGebraTube 的連結在此：1. 橢圓 https://ggbm.at/GGbB9kGH 2. 抛物線https://ggbm.at/RSPYhcBF 3. 雙曲線 https://ggbm.at/dA3JehQw

橢圓繪圖步驟

1. 新增控制半長軸 a、焦距 c 的數值滑桿，指令為

a = Slider(1, 5, 0.1)

c = Slider(0, a-0.1, 0.1)

由於橢圓 a > c，故 c 的極大值設為 a - 0.1。

2. 在原點上新增點 O。

O = Point({0, 0})

3. 利用 Segment 指令，以 O 為起點向右畫出長度為 c 的線段，線段的右端會自動新增一個點，將它重新命名為 C1，再用點對稱畫出左側的焦點 C2，指令為

f = Segment(O, c)

C_2 = Reflect(C_1, O)

這樣做的用處在於，當我們拖曳 C1時只會旋轉橢圓，不會改變焦距 c。

4. 畫出橢圓 d

d = Ellipse(C_1, C_2, a)

橢圓的指令有3種格式：(1) Ellipse(焦點1名稱, 焦點2名稱, 半長軸長度) (2) Ellipse(焦點1名稱, 焦點2名稱, 線段名稱) (3) Ellipse(焦點1名稱, 焦點2名稱, 橢圓上任一點名稱)。我們用的是第1種。

橢圓光學性質步驟 1 ~ 4 成果

5. 在橢圓 d 上新增動點 P，畫出通過點 P 的切線 g 、法線 h。

P = Point(d)

g = Tangent(P, d)

h = PerpendicularLine(P, g)

上式中用到的切線指令格式為 Tangent(曲線上的點名稱, 曲線名稱)，另外還有很多不同寫法，請參考官方說明書。

6. 畫出焦點 C1、C2 、 P 之間的連線，畫出法線 h 和焦點連線的交點 Q。

i = Segment(C_1, P)

j = Segment(C_2, P)

k = Segment(C_1, C_2)

Q = Intersect(h, k)

7. 標示 θ1 = 角QPC1、 θ2 = 角C2PQ，可以看出 θ1 = θ2，符合反射定律。

θ_1 = Angle(Q, P, C_1)

θ_2 = Angle(C_2, P, Q)

橢圓光學性質最終成果

橢圓光學性質最終成果（旋轉橢圓）

抛物線繪圖步驟

1. 在 x 軸上新增焦點 C、準線通過的點 A，手動把點 A 拉到右側。

C = Point(xAxis)

A = Point(xAxis)

2. 畫出主軸 f、準線 g、抛物線 d

f = Line(C, A)

g = PerpendicularLine(A, f)

d = Parabola(C, g)

上式中抛物線指令的格式為 Parabola(焦點名稱, 準線名稱)

抛物線光學性質步驟 1 ~ 2 成果

3. 在抛物線 d 上新增動點 P，畫出通過點 P 與主軸平行的直線 h，在 h 上新增點 B 並手動拉到左側，畫出射線 PB 作為入射光。

P = Point(d)

h = Line(P, f)

B = Point(h)

i = Ray(P, B)

4. 畫出通過點 P 的切線 j 、法線 k，用線對稱畫出反射光 i'。可以任意地拖曳點 P，反射光都會通過焦點 C。

j = Tangent(P, d)

k = PerpendicularLine(P, j)

i' = Reflect(i, k)

橢圓光學性質最終成果

雙曲線繪圖步驟

1. 新增控制焦距 c、半長軸 a 的數值滑桿，指令為

c = Slider(1, 5, 0.1)

a = Slider(0, c-0.1, 0.1)

手動調整數值 c = 2、a = 1。

2. 在原點上新增點 O。

O = Point({0, 0})

3. 利用 Segment 指令，以 O 為起點向右畫出長度為 c 的線段，線段的右端會自動新增一個點，將它重新命名為 C1，再用點對稱畫出左側的焦點 C2，指令為

f = Segment(O, c)

C_2 = Reflect(C_1, O)

這樣做的用處在於，當我們拖曳 C1時只會旋轉雙曲線，不會改變焦距 c。

4. 畫出雙曲線 d

d = Hyperbola(C_1, C_2, a)

雙曲線光學性質步驟 1 ~ 4 成果

5. 在雙曲線 d 上新增動點 P，畫出通過點 P 的切線 g 、法線 h。

P = Point(d)

g = Tangent(P, d)

h = PerpendicularLine(P, g)

6. 畫出射線 i 當作入射光，利用線對稱畫出反射光 i’，再沿著反射光畫出反射線的延長線 j。

i = Ray(P, C_1)

i' = Reflect(i, h)

j = Line(P, i')

雙曲線光學性質最終成果

雙曲線光學性質最終成果（旋轉雙曲線）

結論

這三張圖都只畫了一道入射光，如果想要一次畫出多道入射光，就需要用到 Sequence，指令會增加很多，留到下次再寫。

一個地球人在臺北

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結論

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