折射定律

折射定律

 日期：2018/2/8

折射定律 (law of refraction) 或稱為司乃耳定律 (Snell's law) 的型式為 n1 sin θ1 = n2 sin θ2 ，當 n1 > n2 時可以算出臨界角 θc = sin-1 (n2 / n1)，若 θ1 > θc 則發生全反射。我已經將檔案上傳至 GeoGebraTube，連結在此 https://ggbm.at/Xcxnvk2r   

折射定律步驟

1. 新增控制兩介質折射率n1、n2、入射角 α 的數值滑桿，指令為

n_1 = Slider(1, 2, 0.1)

n_2 = Slider(1, 2, 0.1)

α = Slider(0°, 89°, 1°)

再手動將 n1 調整為1，n2 調整為1.38，α 調整為 60°。

2. 在原點上新增點 O，在 x 軸上畫直線作為兩介質的交界面，在 y 軸上畫直線作為法線

O = Point({0, 0})

f = Line(O, xAxis)

g = Line(O, yAxis)

3. 在法線上新增點 A，再拖曳到(0, 4)，畫上過點 A 並垂直於法線 g 的直線 h

A = Point(g)

h = PerpendicularLine(A, g)

4. 將點 A 對點 O 順時鐘方向旋轉角度 α 變為點 A'，畫出射線 i 作為入射光，再隱藏點 A'

A' = Rotate(A, -α, O)

i = Ray(O, A')

5. 畫出射線 i 與直線 h 的交點 B，再畫出角 BOA 作為入射角 θ1

B = Intersect(h, i)

θ_1 = Angle(B, O, A)

折射定律範例步驟 1 ~ 5 成果

6. 計算 n1 > n2 時的臨界角 θc

θ_c = If(n_1 > n_2, (asin(n_2 / n_1) / π*180)°, 0°)

上式中 asin = sin-1，但是輸出的單位為弧度 (rad)，2π rad = 360°，為了將單位換回 ° 因此加上了 / π*180° 。

7. 計算折射角 β

β = If(n_1 <= n_2 || θ_1 <= θ_c, (asin(n_1 sin(θ_1) / n_2) / π*180)°)

上式中  || 代表或，當 n1 ≤ n2 或  θ1 ≤ θc 成立時，用後面的式子計算折射角，若條件不成立則沒有定義折射角。

8. 在法線上新增點 C，再拖曳到(0, -4)，畫上過點 C 並垂直於法線 g 的直線 k

C = Point(g)

k = PerpendicularLine(C, g)

9. 將點 C 對點 O 順時鐘方向旋轉角度 β 變為點 C'，畫出射線 j 作為折射光，再隱藏點 C'

C' = RotateC, -β, O)

i = Ray(O, C')

10. 畫出射線 j 與直線 k 的交點 D，再畫出角 DOC 作為折射角 θ2

D = Intersect(k, j)

θ_2 = Angle(D, O, C)

折射定律範例步驟 6 ~ 10 成果

11. 畫出發生全反射時的反射光

l = If(n_1 > n_2 && θ_1 > θ_c, Reflect(i, g))

上式中 && 代表且，當 n1 > n2 與 θ1 > θc 都成立時射線 i 對法線 g 的線對稱。但是在輸入指令之後進到屬性裡面看定義會變成

If(n_1 > n_2 ∧ θ_1 > θ_c, Ray(Reflect(O, g), Reflect(A', g)))

這是 GeoGebra 自動轉換的，不需要管它。

12. 將 n1 調整為1.5，n2 調整為1，試試看當 α 增加時會不會發生全反射，如果可以就成功了。

折射定律範例步驟 11 ~ 12 成果

13. 再將 n1 調整為1，n2 調整為1.38，α 調整為 60°。選取測量距離工具，用滑鼠左鍵在點O、B上各點一下，標示OB之間的距離。接著用同樣的作法，標示OA、AB、OC、OD、CD之間的距離。

測量距離工具選單

14. 用以下指令新增是否顯示角度、距離的核取方塊。

angle = Checkbox({θ_1, θ_2})

length = Checkbox({文字AB, 文字CD, 文字OA, 文字OB, 文字OC, 文字OD})

折射定律範例最終成果

結論

用這個檔案可以自由調整介質的折射率及入射角，可以讓學生從邊長之間的關係推論出折射率和角度的關係，在沒有辦法做實驗的狀況下，至少可以讓學生對折射定律比較有感覺。

相關指令的官方說明書

1. 點                https://wiki.geogebra.org/en/Point_Command 
2. 垂直線        https://wiki.geogebra.org/en/PerpendicularLine_Command 
3. 線對稱        https://wiki.geogebra.org/en/Reflect_Command 
4. 畫角度        https://wiki.geogebra.org/en/Angle_Command 
5. 數值滑桿    https://wiki.geogebra.org/en/Slider_Command 
6. 旋轉            https://wiki.geogebra.org/en/Rotate_Command
7. 射線            https://wiki.geogebra.org/en/Ray_Command 
8. 條件            https://wiki.geogebra.org/en/If_Command