球面像差

球面像差

 日期：2018/2/13

用球面作成的凹面鏡無法將平行主軸的入射光集中在同一個點，如果想要讓球面鏡有接近抛物面鏡的效果，入射光必須靠近主軸，球面的曲率半徑要夠大。我的目標是畫出可以自己調整半徑、入射光範圍、入射光數量的圖，另外也用同樣的方式畫出抛物線版本的圖。GeoGebraTube 的連結在此：1. 球https://ggbm.at/TEJPHsya   2. 抛物線  https://ggbm.at/d2khJ7t2 

球面像差最終成果

二次曲線光學性質

二次曲線光學性質

 日期：2018/2/12

更新：

感謝晞安老師提醒，雙曲線也有光學性質，從一個焦點發出的光線經過雙曲線反射後，反射光的延長線會經過另一個焦點。

以前在高中數學會學到二次曲線的光學性質：1. 從橢圓其中一個焦點發出的光，經過橢圓面反射後會通過另一個焦點。 2. 平行主軸的入射光經過抛物面反射後會匯聚在焦點。基本上物理只會用到抛物面，不過我把兩個圖都畫出來，GeoGebraTube 的連結在此：1. 橢圓 https://ggbm.at/GGbB9kGH   2. 抛物線https://ggbm.at/RSPYhcBF   3. 雙曲線 https://ggbm.at/dA3JehQw 

橢圓繪圖步驟

1. 新增控制半長軸 a、焦距 c 的數值滑桿，指令為

a = Slider(1, 5, 0.1)

c = Slider(0, a-0.1, 0.1)

由於橢圓 a > c，故 c 的極大值設為 a - 0.1。

2. 在原點上新增點 O。

O = Point({0, 0})

3. 利用 Segment 指令，以 O 為起點向右畫出長度為 c 的線段，線段的右端會自動新增一個點，將它重新命名為 C1，再用點對稱畫出左側的焦點 C2，指令為

f = Segment(O, c)

C_2 = Reflect(C_1, O)

這樣做的用處在於，當我們拖曳 C1時只會旋轉橢圓，不會改變焦距 c。

折射定律

折射定律

 日期：2018/2/8

折射定律 (law of refraction) 或稱為司乃耳定律 (Snell's law) 的型式為 n1 sin θ1 = n2 sin θ2 ，當 n1 > n2 時可以算出臨界角 θc = sin-1 (n2 / n1)，若 θ1 > θc 則發生全反射。我已經將檔案上傳至 GeoGebraTube，連結在此 https://ggbm.at/Xcxnvk2r   

折射定律步驟

1. 新增控制兩介質折射率n1、n2、入射角 α 的數值滑桿，指令為

n_1 = Slider(1, 2, 0.1)

n_2 = Slider(1, 2, 0.1)

α = Slider(0°, 89°, 1°)

再手動將 n1 調整為1，n2 調整為1.38，α 調整為 60°。

2. 在原點上新增點 O，在 x 軸上畫直線作為兩介質的交界面，在 y 軸上畫直線作為法線

O = Point({0, 0})

f = Line(O, xAxis)

g = Line(O, yAxis)

3. 在法線上新增點 A，再拖曳到(0, 4)，畫上過點 A 並垂直於法線 g 的直線 h

A = Point(g)

h = PerpendicularLine(A, g)

4. 將點 A 對點 O 順時鐘方向旋轉角度 α 變為點 A'，畫出射線 i 作為入射光，再隱藏點 A'

A' = Rotate(A, -α, O)

i = Ray(O, A')

5. 畫出射線 i 與直線 h 的交點 B，再畫出角 BOA 作為入射角 θ1

B = Intersect(h, i)

θ_1 = Angle(B, O, A)

折射定律範例步驟 1 ~ 5 成果

光槓桿

光槓桿

 日期：2018/2/8

光槓桿是反射定律的應用，當入射光不動時，如果平面鏡旋轉角度 θ ，則反射光會旋轉 2θ。我已經將檔案上傳至 GeoGebraTube，連結在此 https://ggbm.at/yBd3mBDr

光槓桿繪圖步驟

1. 選取新點工具，用滑鼠畫出點A(-5,0)、B(5,0)。

2. 選取線段工具，用滑鼠左鍵在點A、B上各按一下。或是用指令

f = Segment(A, B)

將線段調粗、改為藍色虛線當作平面鏡原來的位置。

3. 新增控制平面鏡夾角θ用的數值滑桿，最小值0°，最大值90°，增量1°。或是用指令

θ = Slider(0°, 90°, 1°)

可以使用快速鍵 Alt + O 輸入 ° ，這樣會比按虛擬鍵盤方便。

4. 選取中心點工具，用滑鼠左鍵在點A、B上各點一下畫出中心點C，也就是入射光照到平面鏡的位置，平面鏡旋轉的中心點。或是用指令

C = Midpoint(A, B)

光槓桿步驟 1 ~ 4 成果

GeoGebra 文章目錄

GeoGebra 文章目錄

 更新日期：2018/2/8

我將 GeoGebra 相關的文章及檔案連結都整理在這篇裡，之後如果有新的文章也會同時更新這個目錄。上傳到 GeoGebraTube 的檔案，我有試著用 Google Chrome 63.0.3239.132、FireFox Quantum 57.0.4、Microsoft Edge 41.16299.15.0、Internet Explorer 11.192.16299.0 等4種瀏覽器打開，都可以正常執行。

反射定律

反射定律

 日期：2018/2/6

由於 GeoGebra 中有畫垂直線和線對稱的工具，理論上用 GeoGebra 畫光的反射應該會是一件很簡單的事情，只是沒想到還是需要多花點時間調整圖才會好看，以下是2個例子。

反射定律示意圖繪圖步驟

1. 選取新點工具，用滑鼠在繪圖區上畫出點A、B。在這裡不要用指令畫點，因為輸入指令時會指定點的位置，之後沒辦法用滑鼠拖曳改變點的位置。

2. 選取線段工具，用滑鼠左鍵在點A、B上各按一下。或是用指令

f = Segment(A, B)

將線段調粗、改為藍色當作平面鏡。

線段工具選單

惠更斯原理示意圖

惠更斯原理示意圖

 日期：2018/2/5

惠更斯原理(Huygens principle)在基礎物理1及選修物理上各會出現一次，雖然都只有定性敘述，但是為了解釋這個原理，我必須把圖畫得非常精準才行，下圖是我以前用  LibreOffice Draw 繪製的惠更斯原理示意。但是這個圖上每個元件的位置都要手動去調整，如果想要增加點波源的數量或是改變波長，等於整張圖都要重畫，因此我又想到用 GeoGebra 來畫類似的圖。

使用 LibreOffice Draw 繪製的惠更斯原理示意圖

水波節線、腹線

水波節線、腹線

 日期：2018/2/2

這是一個很常見的指考題：「假設在水波槽中有兩個同相的點波源，點波源間的距離為L，水波波長為λ，請計算水波槽上節線與腹線的數量分別為多少？」解答如下：「由於兩個波源同相，兩個水波在正中央的波程差為0，中央一定是腹線，由中央腹線向左右兩側移動λ/4會遇到節線，再移動λ/4會遇到腹線，按照這個規律就可以找到所有的節線及腹線。」但是否能用 GeoGebra 畫出答案呢？下圖就是最後的成果。我也有將檔案傳到 GeoGebra 的網站，可以直接在網頁上玩玩看https://ggbm.at/uSjh5KWT

L = 12、λ = 2 ~ 12 的節線、腹線位置

圓周上的駐波

圓周上的駐波

 日期：2018/2/1

我以前寫過一篇文章〈用gnuplot繪製圓形駐波〉，這裡面畫的圖是用在選修物理的內容：「用電子物質波形成駐波解釋電子的穩定態」，但是用 gnuplot 實在太像在寫程式，現在用 GeoGebra 反而簡單多了。

圓周上的駐波 n = 5

駐波

駐波

 日期：2018/2/1

我們在選修物理當中會學到繩子上的駐波，分為兩端皆為固定端或自由端、一端固定一端自由兩種類型，利用行進波以及波的疊加兩篇文章中學到的內容，可以很簡單地就做出這兩種類型駐波的動畫。

兩端皆為固定端或自由端

1. 插入控制整數 n 的數值拉桿，最小值1，最大值10，增加1。
2. 設定以下的變數值：振幅 A = 2、繩子長度 L = 10、週期 T = 2*π、角頻率 ω = 2*π / T、波長 λ = 2*L / n，角波數 k = 2*π / λ。
3. 插入控制相位差 δ 的數值拉桿，最小值0，最大值 2*π，增加 π/2。
4. 插入控制時間 t 的數值拉桿，最小值0，最大值T，增加0.05，動畫速度2，重複設為遞增。
5. 用以下指令設定函數
   f(x) = If(0 <= x <= L, A*sin(k*x - ω*t))
   g(x) = If(0 <= x <= L, A*sin(k*x + ω*t + δ))
   h(x) = f(x) + g(x)
6. 當 δ = 0 時，兩端皆為固定端；當 δ = π/2 時，兩端皆為自由端。
7. 開始動畫。

兩端皆為固定端、n = 1 的駐波