Python 符號運算套件：SymPy

前言

SymPy 是 Python 的符號運算套件，可以幫助我們計算函數的微分、積分，而且套件裡已經內建了常用的常數和函數，例如圓周率$\pi = 3.14159265358979$、尤拉常數$E = 2.71828182845905$、正弦函數$\sin$。如果已經在電腦上安裝好 Python，接下來只要在文字介面中執行下的指令即可安裝 SymPy

pip install sympy

如果是 Windows 的用戶，可以使用 Windows PowerShell(系統管理員) 替這部電腦所有的使用者安裝，如果是 Linux 的用戶，在執行指令時可能需要在最前面加上 sudo 暫時取得管理者權限。如果只想要試用看看，可以到 SymPy 的官方網站按右上角的 Online Shell 使用線上版的 SymPy Live。

SymPy 官方網站

SymPy Live

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利用殼層定理推導電量均勻分布的球殼產生的電場

球殼外部

高中物理課本或是講義通常會避開這個問題，直接告訴學生經由微積分的計算後，我們可以將所有的電量集中在球心，用球心到該點的距離計算該點的電場，但是某些學生可能覺得無法接受，這時只好請出微積分這個強大的數學工具。推導過程如下：

下圖中A點是我們要計算電場的位置，B點為球殼上的某個點，O點為球心，R為球殼半徑，r為球心到A點的距離，s為A、B的距離，$\theta$為角AOB，$\phi$為角OAB。其中變數為s、$\theta$、$\phi$，但是由餘定理可得
$$\cos \theta = \frac{r^2 + R^2 - s^2}{2rR}$$
$$\cos \phi = \frac{r^2 + s^2 - R^2}{2rs}$$
所以真正的變數只有s。

電量均勻分布的球殼產生的電場（外部）

Matplotlib 繪圖技巧：讀取數據及線性擬合

前言

對於物理實驗而言，我們在處理數據時通常會繪製 xy 散佈圖，將應變變因的數值畫在 y 軸、操縱變因的數值畫在 x 軸，如果數據點分布在一條斜直線上，就可以利用最小平方法找出最接近直線的斜率和截距，再利用物理定律解釋斜率和截距的成因。但如果數據點不是分布在一條斜直線上，就要先想辦法處理數據，圖形化為直線。

以雙狹縫干涉的實驗為例，假設雷射光波長為 $\lambda$ 、狹縫間距為 $d$ 、狹縫與屏幕間的距離為 $L$，則干涉的寬度
$$\Delta y = \frac{\lambda L}{d}$$
如果我們固定 $\lambda$ 和 $d$，改變 $L$ 並測量 $\Delta y$，再畫出 $\Delta y - L$ 關係圖，這些數據點應該會分布在一條斜直線上，而且斜率 = $\frac{\lambda}{d}$、截距 = 0。

如果我們固定 $\lambda$ 和 $L$，改變 $d$ 並測量 $\Delta y$，再畫出 $\Delta y - d$ 關係圖，這些數據點會分布在一條曲線上。如果我們猜測 $\Delta y$ 和 $d$ 成反比，應該要計算 $1/d$，再畫出 $\Delta y - 1 / d$ 關係圖，如果數據點分布在一條斜直線上，才能證明 $\Delta y$ 和 $d$ 成反比。由理論式可知，直線的斜率 = $\lambda L$、截距 = 0。

左：雙狹縫干涉 Δy - d 關係圖；右：雙狹縫干涉 Δy - 1/d 關係圖

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GeoGebra 繪圖技巧：反比函數

我們在〈Matplotlib 繪圖技巧：在同一張圖上繪製兩個函數、兩張圖並列〉中使用 Matplotlib 繪製反比及平方反比的函數圖形，但如果想要在函數的曲線上，沿著 x 軸方向每隔一段固定的距離畫一個點，再標示出對應的 y 軸數值，使用 Matplotlib 會有一點複雜。如果改用 GeoGebra 會比較簡單一點，成果如下圖，這個檔案的 GeoGebra 網頁版連結為 https://ggbm.at/p4hzbuza

反比函數圖形

Matplotlib 繪圖技巧：在同一張圖上繪製兩個函數、兩張圖並列

我們在〈冰與水蒸氣混合達熱平衡時溫度與質量比值關係圖〉中使用 Matplotlib 繪製單一的函數圖形，但如果我們想在同一張圖上繪製兩個函數，或是將兩張圖並列畫在同一張圖片中時要怎麼做呢？

我們以兩個點電荷之間的靜電力和電位能與距離的關係為例，假設點電荷的電量分別為 Q 和 q，兩者之間的距離為 r，則兩者之間的靜電力量值
$$F = \frac{kQq}{r^2}$$
電位能量值
$$U = \frac{kQq}{r}$$
由於使用 Matplotlib 繪圖時必須代入數值，我將數值設定為 $Q = 1 \times 10^{-4} ~\mathrm{C}$、$q = 1 \times 10^{-4} ~\mathrm{C}$、$0.01 \leq r \leq 10~\mathrm{m}$，r 不從 0 開始畫是為了避免靜電力和電位能量值變為無窮大。接著我們來繪製函數圖形。

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在同一張圖上繪製兩個函數

我們希望圖片能有以下的特點：

1. 用不同的顏色繪製不同的函數
2. 加上圖例、格線、坐標軸標籤
3. 設定縱軸繪圖範圍

成果如下圖所示，使用的程式碼如下。

在同一張圖上繪製靜電力、電位能與距離的關係圖

冰與水蒸氣混合達熱平衡時溫度與質量比值關係圖

題目

假設 0°C 的冰塊質量為 M₁，100°C 的水蒸氣質量為 M₂，將兩者放入絕熱容器內達到熱平衡時的溫度為 T，請畫出 T 與質量比值 M₁ / M₂ 的關係圖。（水的熔化熱為 80 cal/g，水的汽化熱為 540 cal/g）

解答

假設平衡時的溫度為 T，由於系統與外界沒有熱交換，冰塊吸收的熱等於水蒸氣釋放的熱，因此
$$M_1 \times 80 + M_1 \times 1 \times (T-0) = M_2 \times 540 + M_2 \times 1 \times (100 - T)$$
$$\frac{M_1}{M_2} \times 80 + \frac{M_1}{M_2} \times T = 640 - T$$
若$\frac{M_1}{M2} \equiv x$，則上式可改為
$$80x+xT = 640−T$$
$$T=\frac{640−80x}{x+1}$$
若 $x < 3$ 代入上式則 $T > 100$，代表水蒸氣沒有用完，此時水與水蒸氣共存 $T = 100$；若 $x > 8$ 代入上式則 $T < 0$，代表冰塊沒有用完，此時水與冰塊共存 $T = 0$。因此 $$T(x) = \begin{cases} 100 & \text{ if } x < 3 \\ 0 & \text{ if } x > 8 \\
\frac{640 - 80x}{x + 1} & \text{ if } 3 \leq x \leq 8
\end{cases}$$
很明顯地，這個函數圖形並不好畫，我們需要使用一些輔助工具會比較方便。

Stellarium 教學手冊

作者：王一哲　　　　　日期：2017/9/17

Stellarium 的安裝及操作

安裝軟體

前往 Stellarium 首頁 http://www.stellarium.org/zh/ ，選擇適合自己所用的作業系統版本，下載並安裝 Stellarium 主程式。

Stellarium 首頁

認識 Stellarium 選單及工具列

安裝完畢之後進入 Stellarium，所見的到畫面如下。

Stellarium 程式畫面截圖

星空與時區問題

作者：王一哲　　　　　日期：2018/11/11

最近學校剛考完第2次學測模擬考，其中有一題天文的題目幾乎沒有學生答對，題目的大意是：

某個學生在臺灣（北緯23度）晚上8點時看到位於天頂的星座，如果他兩個月後在日本（北緯43度）晚上11點觀星，是否能在天空中找到同一個星座？

這個題目會用到周年運動、周日運動以及時區是否會影響所見星空等觀念，答對率一定不高，這是意料中的事。為了能更具體地解釋這個題目，我利用 Stellarium 按照題目的條件設定，將模擬的星空畫面截圖。

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1. 假設某人於2018年6月27日20:00於鹿林天文台觀星，所見星空如下圖所示，圖中的下方是南方，天頂附近是牧夫座的下半部。

2018年6月27日20:00於鹿林天文台所見星空（天頂）