GeoGebra 教學 15：使用輸入欄位改變三角形邊長

作者：王一哲
日期：2022/5/16


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目標

在繪圖區上新增三個輸入方格，由輸入方格改變三角形ABC的邊長；再新增一個控制三角形旋轉角度的數值滑桿；最後將三個內角的角度顯示於畫面上。

使用輸入方格改變三角形邊長

繪製三角形

1. 以邊長為3、4、5的直角三角形為例，首先於指令列中依序輸入以下指令定義邊長a、b、c及頂點A、B。

a = 3
b = 4
c = 5
A = Point({0, 0})
B = Point({c, 0})

2. 利用餘弦定理計算頂點C需要繞著頂點B逆時鐘方向旋轉的角度。

θ = 180° - acosd((a**2 + c**2 - b**2)/(2*a*c))

3. 定義頂點C的位置。

C = Rotate(Point({c+a, 0}), θ, B)

4. 繪製三角形ABC。

ABC = Polygon(A, B, C)

5. 標示頂點A、B、C分別對應的內角。

α = Angle(B, A, C)
β = Angle(C, B, A)
γ = Angle(A, C, B)

邊長為3、4、5的直角三角形

GeoGebra 教學 14：使用按鈕及核取方塊控制動畫

作者：王一哲
日期：2021/5/9


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目標

我們之前都是在數值滑桿上按滑鼠右鍵，再點選快速選單中的開始動畫，但是這樣似乎有點麻煩。比較直覺的操作方式，應該是有一個按鈕，點一下開始動畫，再點一下暫停動畫；另一個按鈕則是重置動畫，點一下將時間歸零；或是有一個核取方塊，打勾開始動畫，取消打勾停止動畫。下圖是以水平拋射為例，使用按鈕及核取方塊控制動畫。

使用按鈕及核取方塊控制動畫

基本的水平拋射動畫

1. 於指令列中依序輸入以下指令定義數值

H = 10
g = 9.8
v_0 = 10
tmax = sqrt(2*H/g)

2. 於指令列中輸入以下指令新增數值拉桿定義時間 t，再開啟屬性視窗，將動畫種類調整為遞增。

t = Slider(0, tmax, 0.01*tmax)

3. 於指令列中輸入以下指令新增隨時間移動的點P。

P = Point({v_0*t, H - 0.5*gt**2})

4. 於指令列中輸入以下指令新增水平抛射軌跡。到步驟4為止，就是一個可以由數值滑桿控制的水平拋射動畫。

trail = Curve(v_0*t, H - 0.5*g*t**2, t, 0, tmax)

基本的水平拋射動畫

GeoGebra Classic 5 & 6 匯出 gif 檔

作者：王一哲
日期：2021/8/11

前言

昨天有同事問我，為什麼在 GeoGebra Classic 找不到匯出成 gif 檔的選項，搜尋之後才發現這個功能在 GeoGebra Classic 5 可以從選單找到，但是在 GeoGebra Classic 6 卻要用指令才行。以下用一個簡單的正弦波動畫作為例子，測試的作業系統為 Linux Mint 20.1 Ulyssa，GeoGebra 版本為 GeoGebra-Linux64-Portable-6-0-657-0 以及 GeoGebra-Linux-Portable-5-0-657-0。

GeoGebra Classic 6

首先用以下指令畫出向右移動的正弦波，數值滑桿 t 的動畫速度設定為 4、重複模式為遞增。

T = 2
ω = 2*π/T
t = Slider(0, T, 0.05*T)
f(x) = If(x >= 0, sin(x - ω*t))

GeoGebra Classic 6：正弦波

內旋輪線

作者：王一哲
日期：2021/8/9

前言

小時候有一種玩具，將一個小的圓板放在一個大的圓內側，接著用原子筆插在小圓板的某個洞中，用力地將小圓板貼著大圓內側轉動就可以畫出很複雜的圖案，這個玩具的名稱是萬花尺 (spirograph)。

萬花尺（圖片來源：https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/2/24/Spirograph.jpg）

萬花尺應用到的數學原理名為內旋輪線 (hypotrochoid)，以下是它的參數式。 $$ x(\theta) = (R-r) \cos \theta + d \cos \left( \frac{R-r}{r} \theta \right) $$ $$ y(\theta) = (R-r) \sin \theta - d \sin \left( \frac{R-r}{r} \theta \right) $$
以下是從維基百科上找到的例子，我們接下來試著用 GeoGebra 畫出同樣的圖。

內旋輪線動畫，R = 5，r = 3，d = 5（圖片來源：https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/f/fa/HypotrochoidOutThreeFifths.gif）

內旋輪線動畫，R = 10，r = 5，d = 1，圖西對 (Tusi couple)（圖片來源：https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/5/5c/Ellipse_as_hypotrochoid.gif）

圓的漸開線

作者：王一哲
日期：2021/2/5

原理

漸開線的英文為 involute 或 evolute。假設B為圓周上的點，B點繞圓心O旋轉的弧長為L，在過B點的切線上有一個P點，BP的距離等於 L，則P點的軌跡為圓的漸開線，圓的漸開線常用來作為齒輪邊緣的形狀。若使用參數式則為 $$ x = a (\cos t + t \sin t) $$ $$ y = a (\sin t - t \cos t) $$ 以下是使用 GeoGebra 繪製圓的漸開線成果。

使用 GeoGebra 繪製圓的漸開線動畫

擺線與軌跡

作者：王一哲
日期：2020/10/29

原理

假設有一個半徑為 $r$ 的小球在水平地面上純滾動，球心O點向右前進的速度為 $v$，小球繞O點順時鐘方向轉動的角速度為 $\omega$，由於小球與地面接觸點沒有相對滑動，因此 $$ v = r \omega $$ 則圓周上的某個點P移動的軌跡為擺線 (cycloid)，若用參數式可以表示為 $$ x = r (t - \sin t) ~~~~~ y = r (1 - cos t) $$ 以下是使用 GeoGebra 繪製擺線的方法及成果。

使用 GeoGebra 繪製的擺線動畫

拋物面鏡反射

作者：王一哲
日期：2020/9/13
這是為了展示拋物面鏡反射的性質而製作的檔案，可以由左上角的數值滑桿調整入射光與主軸的夾角 θ、入射光照射範圍 R、光線數量 N。本次課程檔案已上傳至 GeoGebraTube，可以線上操作或下載檔案。

• 拋物面鏡凹面反射
• 拋物面鏡凸面反射

拋物面鏡凹面反射

拋物面鏡凸面反射

縱波示意圖

作者：王一哲

日期：2020/8/10

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原理

縱波 (longitudinal wave) 又稱為疏密波，波的前進方向與介質振動方向平行，介質於平衡點附近來回振動，不會隨著波一起前進。通常我們會用很多的橫線表示介質所在的位置，藉此表現出介質疏密程度的變化。

Wikipedia 的縱波示意圖動畫，圖片來源為 https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/6/62/Onde_compression_impulsion_1d_30_petit.gif

縱波示意圖動畫 （沒有畫出平衡點）

Matplotlib 繪圖技巧：移動的點

作者：王一哲
日期：2019/12/20

前言

在這篇文章中，我利用 Matplotlib 繪製一個隨著 sin 函數移動的點，由於圖片中的物件比較簡單，算是上一篇文章〈Matplotlib 繪圖技巧：水波干涉動畫〉的前置作業。

使用Matplotlib產生的動畫

都卜勒效應及震波示意圖

作者：王一哲
日期：2019/10/25

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原理

假設波源發出的聲波頻率為 $f_0$，空氣中的聲速為 $v$，波源以速度 $v_S$ 接近靜止的觀察者時，由於聲波的波長被壓縮，但空氣中的聲速不變，因此觀測到的聲波頻率會變為

$$f = \frac{v}{v-v_S} f_0$$

若波源以速度 $v_S$ 遠離靜止的觀察者時，由於聲波的波長被拉長，但空氣中的聲速不變，因此觀測到的聲波頻率會變為

$$f = \frac{v}{v+v_S} f_0$$

都卜勒效應示意圖動畫 （波源移動速度為0.6倍聲速）

於 Matplotlib 繪製的圖表中插入 LaTeX 數學式

作者：王一哲
日期：2019/7/21

前言

如果想在 Matplotlib 繪製的圖形中插入簡單的 $\LaTeX$ 數學式，例如

$$f(x) = ax^2 + bx + c$$

只需要在繪圖時加入

label=r'$f(x) = ax^2 + bx + c$'

即可。但如果要插入更複雜的數學式，例如

$$f(x) =
\begin{cases}
0.2x & \mathrm{if~~~} x < 0 \\ x & \mathrm{otherwise} \end{cases}$$ 會需要另外安裝 $\LaTeX$ 軟體，還需要另外加上一些程式碼。

電磁波示意圖

作者：王一哲
日期：2019/4/11

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1. 電磁波示意圖 https://ggbm.at/aetrezwe
2. 電磁波示意圖（使用參數式） https://ggbm.at/j3zrheab

電磁波示意圖動畫

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繪圖步驟

1. 由於電場、磁場、電磁波前進方向三者互相垂直，必須開啟3D繪圖區才能顯示圖形，我們先由檢視 ⇒ 3D繪圖區或是快速鍵Ctrl+Shift+3開啟3D繪圖區。
2. 先定義下列的變數：振幅 A = 2、波長 λ = 4、週期 T = 1、角波數 $k = \frac{2 \pi}{\lambda}$、角頻率 $\omega = \frac{2 \pi}{T}$。
3. 新增代表時間 t 的數值滑桿，最小值為0，最大值為T，增量為0.01T，動畫效果預設為遞增。

t = Slider(0, T, 0.01*T)

4. 由於我希望電磁波沿著 +x 軸方向前進，若電場沿著 z 軸方向振動，則磁場必須沿著 y 軸方向振動，先用以下指令畫出磁場的波形。

B(x) = If(0 <= x <= 3*λ, A sin(k*x - ω*t + 180°))

5. 為了畫出磁場的振動位移，我先在 x 軸上每隔一段距離取一個點，將一個波長平均分為8等份，再於 B(x) 上畫出對應的點，最後用向量畫出箭頭。

num = 4 * 2 * 3
points = Sequence(Point({3*λ / num*i, 0, 0}), i, 1, num)
points_B = Sequence(Point({3*λ / num*i, B(3*λ / num*i), 0}), i, 1, num)
arrows_B = Sequence(Vector(points(i), points_B(i)), i, 1, num)

向量積

作者：王一哲
日期：2019/4/7

向量積 (vector product) 也稱為叉積 (cross product)，在高中數學課本中被稱為外積，但是在數學上有另一個外積 (outer product)，兩者是不同的。假設向量$\mathbf{a}$、$\mathbf{b}$分別定義為

$$\mathbf{a} = (x_1, y_1, z_1)$$
$$\mathbf{b} = (x_2, y_2, z_2)$$

則兩者的向量積為

$$\mathbf{c} = \mathbf{a} \times \mathbf{b} =
\begin{vmatrix}
\hat i & \hat j & \hat k \\
x_1 & y_1 & z_1 \\
x_2 & y_2 & z_2
\end{vmatrix}
= (y_1 z_2 - z_1 y_2, z_1 x_2 - x_1 z_2, x_1 y_2 - y_1 x_2)$$

相當於是向量$\mathbf{a}$、$\mathbf{b}$在空間中形成的平行四邊形的法向量。

本次課程檔案已上傳至 GeoGebraTube，可以線上操作或下載檔案，網址為 https://ggbm.at/upfavbyq

向量積

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GeoGebra 繪圖技巧：反比函數

我們在〈Matplotlib 繪圖技巧：在同一張圖上繪製兩個函數、兩張圖並列〉中使用 Matplotlib 繪製反比及平方反比的函數圖形，但如果想要在函數的曲線上，沿著 x 軸方向每隔一段固定的距離畫一個點，再標示出對應的 y 軸數值，使用 Matplotlib 會有一點複雜。如果改用 GeoGebra 會比較簡單一點，成果如下圖，這個檔案的 GeoGebra 網頁版連結為 https://ggbm.at/p4hzbuza

反比函數圖形

GeoGebra初學指引

GeoGebra初學指引

日期：2018/8/7

什麼是GeoGebra

GeoGebra 的名稱是由兩個單字組成的

Geometry （幾何）+ Algebra （代數）

這是一套基於 GPL 發行的數學動態繪圖軟體，主要是以 JAVA 和 HTML5 寫成的，我覺得目前的功能已經足以應付高中課堂的需求。下圖是我用 GeoGebra 繪製的圓形波傳播方式示意圖，如果要在黑板上畫出25個點波源以及圓形波前，可能畫完就下課了，但是用 GeoGebra 可以很快就畫好，還可以當場調整點波源的數量。

圓形波傳播方式示意圖

下載及安裝

以下是 GeoGebra 的首頁(https://www.geogebra.org/)

GeoGebra 首頁

其中新數學應用與經典應用是線上版軟體，可以直接在瀏覽器上面執行。但是我們想在電腦上安裝 GeoGebra ，請按右下角的離線應用當中的應用下載。在下載頁面當中有6種不同的軟體，我選擇的是最傳統的GeoGebra Classic 5。

GeoGebra 下載頁面

下載完安裝檔之後，就是 Windows 傳統的安裝方式，全部採用預設值，一直按下一步就對了。如果不想安裝軟體，也可以下載免安裝版本，下載後只要解壓縮就可以使用，下載連結在此。

選擇 GeoGebra Classic 5 或 6？

以下分別是 GeoGebra Classic 5 和 6 開啟新檔案後的畫面，比較明顯的差異在於 5 的下方是輸入指令的欄位，6 的下方則是提示輸入格式的虛擬鍵盤，輸入指令的欄位被移到左側。在運行速度方面，我試著用 5 和 6 開啟同一個檔案，在執行動畫功能時，5 的運作比較流暢，6 則有點卡，因此建議以 5 為主。

GeoGebra Classic 5 開啟新檔案後的畫面

GeoGebra Classic 6 開啟新檔案後的畫面

黎曼和題目

黎曼和題目

日期：2018/5/12

這是昨天學生問我的題目，雖然我不太清楚他們為什麼會問物理老師數學問題，也許是當時找不到數學老師。因為我很久沒有複習高中數學，其實當時並沒有想出來，後來才發現那其實是黎曼和的題目，於是我用 GeoGebra 做了以下的檔案（連結在此）

　　對於這樣的題目也可以寫程式去跑，雖然這樣有點暴力，但當作是驗算也不錯。我將 n 設定為 100000000，用 python 算出來的結果是 16.25000009500000，用 c 算出來的結果是 16.25000009500101，都很接近理論值 16.25，至於兩種程式語言算出來的結果為什會不一樣，這部分我就沒有深入研究。雖然數值很接近，但運算速度上差異很大，python 需要跑大約 4 分鐘，c 只需要 2.078 秒，這樣就不難理解為什麼有些人不喜歡用 python 跑大量的數運算。

python 程式碼

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n = 1000000

total = 0

for i in range(1, n+1):

    total += (2*n + i)**3

print("{0:.14f}".format(total/n**4))

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c 程式碼

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#include <stdlib.h>

#include <stdio.h>

int main(void) {

    int i;

    double n = 100000000.0;

    double total = 0.0;

    double result = 0.0;

    for(i = 1; i <= n; i++) {

            total += (2*n + (double)i)*(2*n + (double)i)*(2*n + (double)i);

    }

    result = total / (n*n*n*n);

    printf("result = %.14f", result);

    return 0;

}

球面像差

球面像差

 日期：2018/2/13

用球面作成的凹面鏡無法將平行主軸的入射光集中在同一個點，如果想要讓球面鏡有接近抛物面鏡的效果，入射光必須靠近主軸，球面的曲率半徑要夠大。我的目標是畫出可以自己調整半徑、入射光範圍、入射光數量的圖，另外也用同樣的方式畫出抛物線版本的圖。GeoGebraTube 的連結在此：1. 球https://ggbm.at/TEJPHsya   2. 抛物線  https://ggbm.at/d2khJ7t2 

球面像差最終成果

二次曲線光學性質

二次曲線光學性質

 日期：2018/2/12

更新：

感謝晞安老師提醒，雙曲線也有光學性質，從一個焦點發出的光線經過雙曲線反射後，反射光的延長線會經過另一個焦點。

以前在高中數學會學到二次曲線的光學性質：1. 從橢圓其中一個焦點發出的光，經過橢圓面反射後會通過另一個焦點。 2. 平行主軸的入射光經過抛物面反射後會匯聚在焦點。基本上物理只會用到抛物面，不過我把兩個圖都畫出來，GeoGebraTube 的連結在此：1. 橢圓 https://ggbm.at/GGbB9kGH   2. 抛物線https://ggbm.at/RSPYhcBF   3. 雙曲線 https://ggbm.at/dA3JehQw 

橢圓繪圖步驟

1. 新增控制半長軸 a、焦距 c 的數值滑桿，指令為

a = Slider(1, 5, 0.1)

c = Slider(0, a-0.1, 0.1)

由於橢圓 a > c，故 c 的極大值設為 a - 0.1。

2. 在原點上新增點 O。

O = Point({0, 0})

3. 利用 Segment 指令，以 O 為起點向右畫出長度為 c 的線段，線段的右端會自動新增一個點，將它重新命名為 C1，再用點對稱畫出左側的焦點 C2，指令為

f = Segment(O, c)

C_2 = Reflect(C_1, O)

這樣做的用處在於，當我們拖曳 C1時只會旋轉橢圓，不會改變焦距 c。

折射定律

折射定律

 日期：2018/2/8

折射定律 (law of refraction) 或稱為司乃耳定律 (Snell's law) 的型式為 n1 sin θ1 = n2 sin θ2 ，當 n1 > n2 時可以算出臨界角 θc = sin-1 (n2 / n1)，若 θ1 > θc 則發生全反射。我已經將檔案上傳至 GeoGebraTube，連結在此 https://ggbm.at/Xcxnvk2r   

折射定律步驟

1. 新增控制兩介質折射率n1、n2、入射角 α 的數值滑桿，指令為

n_1 = Slider(1, 2, 0.1)

n_2 = Slider(1, 2, 0.1)

α = Slider(0°, 89°, 1°)

再手動將 n1 調整為1，n2 調整為1.38，α 調整為 60°。

2. 在原點上新增點 O，在 x 軸上畫直線作為兩介質的交界面，在 y 軸上畫直線作為法線

O = Point({0, 0})

f = Line(O, xAxis)

g = Line(O, yAxis)

3. 在法線上新增點 A，再拖曳到(0, 4)，畫上過點 A 並垂直於法線 g 的直線 h

A = Point(g)

h = PerpendicularLine(A, g)

4. 將點 A 對點 O 順時鐘方向旋轉角度 α 變為點 A'，畫出射線 i 作為入射光，再隱藏點 A'

A' = Rotate(A, -α, O)

i = Ray(O, A')

5. 畫出射線 i 與直線 h 的交點 B，再畫出角 BOA 作為入射角 θ1

B = Intersect(h, i)

θ_1 = Angle(B, O, A)

折射定律範例步驟 1 ~ 5 成果

光槓桿

光槓桿

 日期：2018/2/8

光槓桿是反射定律的應用，當入射光不動時，如果平面鏡旋轉角度 θ ，則反射光會旋轉 2θ。我已經將檔案上傳至 GeoGebraTube，連結在此 https://ggbm.at/yBd3mBDr

光槓桿繪圖步驟

1. 選取新點工具，用滑鼠畫出點A(-5,0)、B(5,0)。

2. 選取線段工具，用滑鼠左鍵在點A、B上各按一下。或是用指令

f = Segment(A, B)

將線段調粗、改為藍色虛線當作平面鏡原來的位置。

3. 新增控制平面鏡夾角θ用的數值滑桿，最小值0°，最大值90°，增量1°。或是用指令

θ = Slider(0°, 90°, 1°)

可以使用快速鍵 Alt + O 輸入 ° ，這樣會比按虛擬鍵盤方便。

4. 選取中心點工具，用滑鼠左鍵在點A、B上各點一下畫出中心點C，也就是入射光照到平面鏡的位置，平面鏡旋轉的中心點。或是用指令

C = Midpoint(A, B)

光槓桿步驟 1 ~ 4 成果