克希荷夫定律與矩陣運算

作者：王一哲
日期：2024年7月8日

原理

當電路上只有電池與電阻器，但又不是單純的串聯、並聯電路時，可以利用克希荷夫定律 (Kirchhoff's circuit laws) 求所有的分支電流。克希荷夫定律有兩個定則

1. 節點定則：對於電路上的某個節點而言，流入、流出的電流量值相等，實際上就是電荷守恆。
2. 迴路定則：對於電路上的某個迴路而言，繞一圈回到出發點時電位相等，實際上就是能量守恆。

下圖是 WikiPedia 克希荷夫定律英文版條目的例子

圖片來源：https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/7/77/Kirshhoff-example.svg

由圖中右方的節點可得 $$ i_1 = i_2 + i_3 $$ 由上方的迴路可得 $$ \varepsilon_1 - i_1 R_1 - i_2 R_2 = 0 $$ 由下方的迴路可得 $$ -i_3 R_3 - \varepsilon_2 - \varepsilon_1 + i_2 R_2 = 0 $$ 整理以上3式可得 $$ \begin{cases} i_1 - i_2 - i_3 = 0 \\ i_1 R_1 - i_2 R_2 = \varepsilon_1 \\ i_2 R_2 - i_3 R_3 = \varepsilon_1 + \varepsilon_2 \end{cases} ~\Rightarrow~ \begin{cases} 1 \cdot i_1 + (-1) \cdot i_2 + (-1) \cdot i_3 = 0 \\ R_1 \cdot i_1 + (-R_2) \cdot i_2 + 0 \cdot i_3 = \varepsilon_1 \\ 0 \cdot i_1 + R_2 \cdot i_2 + (-R_3) \cdot i_3 = \varepsilon_1 + \varepsilon_2 \end{cases} $$ 如果轉換成矩陣型式 $$ \begin{bmatrix} 1 & -1 & -1 \\ R_1 & R_2 & 0 \\ 0 & R_2 & -R_3 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} i_1 \\ i_2 \\ i_3 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 \\ \varepsilon_1 \\ \varepsilon_1 + \varepsilon_2 \end{bmatrix} $$ 假設代入的數值分別為 $$ R_1 = 100 ~\mathrm{\Omega},~ R_2 = 200 ~\mathrm{\Omega},~ R_3 = 300 ~\mathrm{\Omega},~ \varepsilon_1 = 3 ~\mathrm{V},~ \varepsilon_2 = 4 ~\mathrm{V} $$ 電流分別為 $$ i_1 = \frac{1}{1100} ~\mathrm{A},~ i_2 = \frac{4}{275}~\mathrm{A},~ i_3 = -\frac{3}{220} ~\mathrm{A} $$

無限多個電阻器連接的等效電阻

作者：王一哲
日期：2023/4/17

題目

下圖的每一個電阻器的電阻值皆為 $r$，若每3個電阻器為一組，不斷地向右連接了無窮多組的電阻器，則節點 a、b 之間的等效電阻量值為何？

等效電阻題目電路圖

理論解

由於題目的圖中有無窮多組電阻器，若在節點 a、b 的右側另取兩個節點 c、d，則 a、b 及 c、d 的等效電阻值應該會相等，也就是 $R = R_{ab} = R_{cd}$，可以將電路圖改為下圖。

等效電阻題目電路圖

由上圖可得 $$ R = (R /\mkern-5mu/ r) + 2r ~\Rightarrow~ R = \frac{Rr}{R+r} + 2r ~\Rightarrow~ R^2 + Rr = Rr + 2Rr + 2r^2 \\ \Rightarrow~ R^2 - 2Rr - 2r^2 = 0 ~\Rightarrow~ R = \frac{2r \pm \sqrt{4r^2 + 8r^2}}{2} = (1 \pm \sqrt 3)r $$ 由於電阻值不可能是負值，因此答案為 $(\sqrt 3 + 1)r$

電路模擬軟體 Circuit Simulator

作者：王一哲
日期：2023/3/24

前言

最近我正好教到高三選修物理第5冊第1章電流與電路，書上有一個求等效電阻的題目，由於圖中的電阻器不是單純的串聯或並聯，如果要計算節點a、b之間的等效電阻，我通常會在兩點之間接上一個理想電池，用克希荷夫定律計算通過每個電阻器的分支電流，再用電池電動勢及總電流計算等效電阻。但是這個題目的分支電流數字並不好看，假設理想電池的電動勢為 1 V，則通過 5 Ω 電阻器與 2 Ω 電阻器的的電流分別為 $$ I_1 = \frac{7}{40} = 0.175 ~\mathrm{A} ~~~~~ I_2 = \frac{13}{40} = 0.325 ~\mathrm{A} $$ 等效電阻 $$ R_{eq} = \frac{1}{I_1 + I_2} = \frac{1}{0.175 + 0.325} = 2 ~\Omega $$
於是我想要找幾個簡單的電路模擬軟體，理論上只要在軟體裡畫好電路圖，應該就可以得到各個分支電流。網路上免費的電路圖軟體還不少，但是其中好幾個是線上版軟體，無法離線使用，後來我找到了這個網站 https://www.falstad.com/circuit/ 。

等效電阻題目電路圖

Circuit Simulator

連上 這個網頁之後，可以直接在網頁上使用軟體，也可以點擊網頁下方的 Standalone (offline) versions.連結，下載離線版本的軟體。

Circuit Simulator 網站首頁

Circuit Simulator 離線版下載頁面

108課綱物理重點整理

作者：王一哲
日期：2022/12/31

前言

最近終於把108課綱各章的重點整理寫好了，發布在我的教學平臺網站上，分別是「高一物理（108課綱）」、「選修物理（108課綱）」，使用的工具是開放原始碼的心智圖軟體Freeplane。

高一物理

第1章：科學的態度與方法

使用 Google 試算表及 VPython 計算砲彈軌跡

作者：王一哲
日期：2022/3/2

前言

前幾天在 YouTube 上看到李永樂老師的影片「如何精準命中目標？戰爭到底帶給我們什麽？」，影片中提到理想狀態與實際情境下的斜向拋射運動差異，最後有提到計算道彈的數值方法。影片中李永樂老師是用 Excel 計算的，而我在高三多元選修中則是教學生用 VPython 計算，雖然工具不同，但是原理相同。

影片來源：https://youtu.be/nalzSo4f0iQ

理想狀態

若砲彈的初速度量值為 $v_0$、仰角為 $\theta$，重力加速度為 $g$，只考慮重力的作用，則砲彈的水平位移 $x$ 與時間 $t$ 的關係為 $$ x = v_0 \cos \theta \cdot t ~\Rightarrow~ t = \frac{x}{v_0 \cos \theta} $$ 鉛直位移 $y$ 與時間 $t$ 的關係為 $$ y = v_0 \sin \theta \cdot t - \frac{1}{2}gt^2 $$
將 $t = \frac{x}{v_0 \cos \theta}$ 代入 $y$ 可得軌跡方程式 $$ y = v_0 \sin \theta \cdot \frac{x}{v_0 \cos \theta} - \frac{1}{2}g \cdot \left( \frac{x}{v_0 \cos \theta} \right)^2 ＝ \tan \theta \cdot x - \frac{g}{2v_0^2 \cos^2 \theta} \cdot x^2$$ 由於 $$ \frac{1}{\cos^2 \theta} = \sec^2 \theta = 1 + \tan^2 \theta $$ 可以將軌跡方程式改寫成 $$ y = x \cdot \tan \theta - \frac{gx^2}{2v_0^2} \cdot (1 + \tan^2 \theta) $$ 若已知目標物所在的位置 $(x, y)$，則初速度仰角 $\theta$ 可以由 $\tan \theta$ 為變數的一元二次方程式解出。 $$ gx^2 \cdot \tan^2 \theta - 2v_0^2 x \cdot \tan \theta + 2v_0^2 y + gx^2 = 0 $$ $$ \tan \theta = \frac{v_0^2 x \pm \sqrt{v_0^4 x^2 - gx^2 (2v_0^2 y + gx^2)}}{gx^2} $$

111學測自然科物理試題解析

作者：王一哲
日期：2022/1/22

第壹部分、選擇題

1-2題為題組

圖1為某颱風中心在21～26日的行進及預測路徑。假設颱風可視為固定質量的質點，地球轉動對颱風行進路徑的影響可忽略不計，颱風行進路徑在同一水平面上，且颱風沿預測路徑持續前進不折返。依據上述與圖1回答1-2題。

圖1

1. 已知此颱風在21日14時的暴風半徑為180公里，如白色圓圈所示。試以預測路徑估算自21日14時至22日02時之間，颱風移動的平均時速量值約多少公里？
   (A) 5　　　(B) 10　　　(C) 20　　　(D) 30　　　(E) 40

答案：B
層次：應用
難度：易
章節：物體的運動
詳解：用尺可於圖1測得暴風半徑在圖上的長度約為 5 mm，而量21日14時至22日02時颱風中心移動的距離在圖上約為 4 mm，實際移動的距離約為 $$ d = 180 \times \frac{4}{5} = 144 ~\mathrm{km} $$ 共經過12小時，因此颱風移動的平均時速量值 $$ v = \frac{d}{t} = \frac{144}{12} = 12 ~\mathrm{km/h} $$ 最接近的選項為B。

2. 已知此颱風在22日02時至23日14時之間，以等速率移動，但方向持續改變，之後朝北北西的方向維持直線前進，則下列敘述哪些正確？（應選2項）
   (A) 22日02時至23日14時之間，颱風在路徑上各點位置所受合力為零
   (B) 22日02時至23日14時之間，颱風在路徑上各點位置所受合力方向與速度方向垂直
   (C) 23日14時之後，颱風恆以等速度前進
   (D) 23日14時之後，颱風在各點位置所受合力都為零
   (E) 24日14時至26日14時之間，颱風所受的平均合力方向與速度方向相反

答案：BE
層次：應用
難度：中
章節：物體的運動
詳解： A 錯誤、B 正確，颱風改變移動的方向，需要受到與速度方向垂直的作用力。
C 錯誤、D 錯誤、E 正確，25日14時至26日14時颱風移動速度變慢，颱風受到與速度方向相反的作用力。

學測、指考試題解析目錄

作者：王一哲
最後更新日期：2021/6/24


這是我之前寫的學科能力測驗（學測）及指定科目考試（指考）試題解析，如果需要題目原始檔及非選擇題解析，請參考大學入學考試中心的網站：學測題連結、指考題連結。

我原來是在 MackMD 網站上用 Markdown 語法撰寫的，有將其中幾篇改成 HTML 語法轉發到這個部落格上，但是這樣實在很麻煩，所以我直接將文章連結整理在這篇，就不再另外發一篇部落格版的解析。另外也有整理好，發布在我的教學網站上。

學科能力測驗試題解析

1. 112學測自然科物理試題解析
2. 111學測自然科物理試題解析
3. 110學測自然科物理試題解析 部落格版
4. 109學測自然科物理試題解析 部落格版
5. 108學測自然科物理試題解析 部落格版
6. 107學測自然科物理試題解析
7. 106學測自然科物理試題解析
8. 105學測自然科物理試題解析
9. 104學測自然科物理試題解析
10. 103學測自然科物理試題解析
11. 102學測自然科物理試題解析

分科測驗、指定科目考試試題解析

1. 111分科測驗物理科試題解析
2. 110指考物理科解析
3. 109指考補考物理科解析
4. 109指考物理科解析 部落格版
5. 108指考物理科解析
6. 107指考物理科解析
7. 106指考物理科解析
8. 105指考物理科解析
9. 104指考物理科解析
10. 103指考物理科解析
11. 102指考物理科解析
12. 101指考物理科解析

110學測自然科物理試題解析

作者：王一哲
日期：2021/1/24

試題與詳解

11. 某單頻光在一種透明水溶液中的傳播速率與該水溶液的密度成反比。今以厚度非常薄的均勻透明玻璃平板組成的立方形容器盛裝此水溶液，並靜置於水平桌面上後，發現水溶液的密度由下而上隨高度遞減。如圖1所示，兩道相同單頻光線由空氣中斜向射入水溶液，若忽略玻璃的折射，則下列選項的光線行進方向何者正確？

圖1

答案：E
層次：應用
難度：難
章節：波動與光
詳解：當光由空氣進到水溶液時會偏向法線，但是光在水溶液中前進的方向才是本題的重點，由於單頻光在水溶液中的傳播速率與該水溶液的密度成反比，且水溶液的密度由下而上隨高度遞減，因此下方的水溶液光速較慢，當光向水溶液下方前進時會偏向法線，故答案為E。

12. 下列甲、乙、丙描述的狀況，屬於宇宙演化過程中的不同階段：
    甲、宇宙中大部分粒子為電子與質子，尚未結合成原子
    乙、宇宙中開始出現氦原子
    丙、恆星開始形成
    依時間先後順序排列，下列何者正確？
    (A) 甲乙丙　　　(B) 乙甲丙　　　(C) 丙乙甲　　　(D) 丙甲乙　　　(E) 甲丙乙

答案：A
層次：知識
難度：易
章節：宇宙學
詳解：甲大約發生在宇宙誕生1秒後，乙大約發生在宇宙誕生38萬年後，丙大約發生在宇宙誕生4億年後。

Arduino 教學：LM35 溫度感測器

作者：王一哲
日期：2020/11/20

元件基本資料

LM35 是一種相當便宜的溫度感測器，從資料表中可以看到它又細分為幾個不同的型號，基本上測量範圍是 2°C - 120°C，輸出訊號的電壓值是 10 mV/°C，室溫下測量精度為 ±0.25°C。每面對 LM35 有字的那一面，由左至右的接腳功能分別為電源、訊號、接地，分別將三者接到 Arduino 開發板上的 5V、類比輸入、GND。

LM35 電路圖

LM35 裝置照片

馬克士威速率分布圖形

作者：王一哲
日期：2020/7/19

原理

全名為馬克士威 - 波茲曼速率分布 (Maxwell–Boltzmann distribution)，氣體分子的移動速率不會完全相同，氣體分子處於某個速率的機率密度函數為

$$
P(v) = 4\pi \left( \frac{m}{2\pi kT} \right)^{\frac{3}{2}} v^2 e^{-\frac{mv^2}{2kT}}
$$

上式中 $m$ 是原子質量，$k$ 是波茲曼常數 (Boltzmann constant) $1.38 \times 10^{-23} ~\mathrm{J/K}$，$T$ 是溫度，$v$ 是速率。下圖是維基百科上的圖片。不過我們只要知道函數的樣子，應該就能用函數繪圖軟體畫出一樣的圖片。

Wikipedia 原圖，圖片來源 https://en.wikipedia.org/wiki/File:MaxwellBoltzmann-en.svg

如果想要用 VPython 模擬出類似的結果，請參考 Glowscript 網站範例。

Glowscript 網站範例，圖片來源 https://www.glowscript.org/#/user/GlowScriptDemos/folder/Examples/program/HardSphereGas-VPython

109指考物理科試題解析

作者：王一哲
日期：2020/7/12

試題與詳解

單選題

第1-2題為題組

新型冠狀病毒與流感病毒可使人類感染致病，甚至危害生命，因此必須防止病毒傳播。進出公共場所用額溫槍量測額溫、戴口罩及利用紫外線消滅病毒等都是可行的措施。回答第1-2題。

1. 新型冠狀病毒防疫期間，常使用額溫槍量測人體額溫，下列敘述何者正確？
   (A) 額溫槍量測額溫的物理原理與偵測宇宙背景輻射類似
   (B) 額溫槍偵測的主要波段為紫外線範圍
   (C) 額溫槍偵測到主要波段的輻射強度越強，表示額溫越低
   (D) 額溫槍偵測到最大輻射強度的輻射頻率，隨額溫升高而變小
   (E) 額溫槍需與額頭表面皮膚達熱平衡才能準確量測額溫
   

答案：A
層次：知識
難度：易
章節：近代物理
詳解：
(A) 正確。額溫槍量測額溫的物理原理為維恩位移定律（Wien's displacement law）$\lambda_{max} T = 2.8977729(17) \times 10^{-3} ~\mathrm{m \cdot K}$，與偵測宇宙背景輻射類似。
(B) 錯誤。額溫槍偵測的主要波段為紅外線範圍。
(C) 錯誤。額溫槍偵測到主要波段的輻射強度越強，表示額溫越高。
(D) 錯誤。額溫槍偵測到最大輻射強度的輻射頻率，隨額溫升高而變高。
(E) 錯誤。額溫槍量測額溫的物理原理不是熱平衡。

2. 表面沾有流感病毒的口罩，可使用波長為 253.7 nm 的紫外線-C 照射，破壞病毒的去氧核糖核酸 (DNA) 及核糖核酸 (RNA) 結構，達到消滅病毒的效果。若以強度為 6,600 μW/cm² 的紫外線-C 垂直照射口罩表面 2.0 s，則兩秒鐘內每平方公分的紫外線-C 光子數約為若干？（普朗克常數 $h = 6.63 \times 10^{-34} ~\mathrm{J \cdot s}$，光速 $c = 3 \times 10^8 ~\mathrm{m/s}$）
   (A) $2.4 \times 10^{13}$
   (B) $6.4 \times 10^{14}$
   (C) $8.4 \times 10^{15}$
   (D) $1.7 \times 10^{16}$
   (E) $9.6 \times 10^{17}$
   

答案：D
層次：應用
難度：中
章節：近代物理
詳解：
一個光子的能量
$$
E = \frac{hc}{\lambda} = \frac{6.63 \times 10^{-34} \times 3 \times 10^8}{253.7 \times 10^{-9}} \approx 7.84 \times 10^{-19} ~\mathrm{J}
$$
兩秒鐘內每平方公分入射光子總能量為
$$
E_{total} = 6600 \times 10^{-6} \times 2 = 1.32 \times 10^{-2} ~\mathrm{J}
$$
光子數為
$$
N = \frac{E_{total}}{E} = \frac{1.32 \times 10^{-2}}{7.84 \times 10^{-19}} \approx 1.68 \times 10^{16}
$$

兩個木塊的簡諧運動

作者：王一哲
日期：2020/7/9

題目（改編自101指考非選題二）

質量分別為 $M$ 及 $m$ 的木塊放置於光滑水平面上，兩個木塊之間以彈性常數為 $k$ 的理想彈簧連接。若將兩個木塊向內壓縮 $\Delta L$ 再由靜止釋放木塊，試求以下的物理量。

1. 木塊做簡諧運動週期
2. 木塊做簡諧運動的最大速率
3. 木塊做簡諧運動的振幅

理論分析

木塊做簡諧運動週期

若將 $x$ 軸的原點設定在 $M$ 的位置，則質心與 $M$ 之間的距離為

$$
x_C = \frac{mL}{M+m}
$$

由於系統的質心位置固定，可以將彈簧從質心位置分割為左、右兩段，長度比為 $m:M$ ，其彈性常數分別為

$$
k_M = \frac{M+m}{m} k
$$

$$
k_m = \frac{M+m}{M} k
$$

兩個木塊做簡諧運動的週期分別為

$$
T_M = 2 \pi \sqrt{\frac{M}{k_1}} = 2 \pi \sqrt{\frac{Mm}{(M+m)k}}
$$

$$
T_m = 2 \pi \sqrt{\frac{m}{k_2}} = 2 \pi \sqrt{\frac{Mm}{(M+m)k}}
$$

兩個木塊做簡諧運動的週期相等，這樣系統質心位置才會固定，這是合理的計算結果。另一種方法是利用約化質量 (reduced mass)

$$
\mu = \frac{Mm}{M+m}
$$

簡諧運動的週期為

$$
T = 2 \pi \sqrt{\frac{\mu}{k}} = 2 \pi \sqrt{\frac{Mm}{(M+m)k}}
$$



2022/5/15 補充說明約化質量的推導過程

假設木塊 $M$ 受的到作用力為 $\mathbf{F_M}$，木塊 $m$ 受的到作用力為 $\mathbf{F_m}$，由於兩者之間用彈簧連接，$M$、$m$、彈簧系統水平方向沒有外力，因此 $$ \mathbf{F_M} + \mathbf{F_m} = 0 ~\Rightarrow~ \mathbf{F_m} = -\mathbf{F_M} $$ 兩者的加速度分別為 $$ \mathbf{a_M} = \frac{\mathbf{F_M}}{M} ~~~~~ \mathbf{a_m} = \frac{\mathbf{F_m}}{m} = -\frac{\mathbf{F_M}}{m} = -\frac{M}{m} \mathbf{a_M} $$ $M$ 相對於 $m$ 的加速度為 $$ \mathbf{a_{Mm}} = \mathbf{a_M} - \mathbf{a_m} = \left( 1 + \frac{M}{m} \right) \mathbf{a_M} = \frac{M+m}{m} \cdot \frac{\mathbf{F_M}}{M} ~\Rightarrow~ \mathbf{F_M} = \frac{Mm}{M+m} \mathbf{a_{Mm}} $$ 若定義約化質量 $$ \mu = \frac{Mm}{M+m} $$ 則上式可改寫為 $$ \mathbf{F_M} = \mu \mathbf{a_{Mm}} $$ 運用約化質量，可以將兩個物體的運動，簡化成其中一個物體相對於另一個物體的運動。

Tracker教學

作者：王一哲
第1版：2016/4/6
第2版：2020/6/11

安裝所需軟體

Java Runtime Environment

請到此頁面選擇配合作業系統的 JRE (Java Runtime Enviroment)，目前最新的版本為Version 8 Update 251，分為下幾種作業系統

1. Windows 32-bit
2. Windows 64-bit
3. Linux 32-bit
4. Linux 64-bit

https://www.java.com/zh_TW/download/manual.jsp

Windows 64-bit 版安裝畫面

Windows 64-bit 版安裝成功畫面

使用工程計算機計算最接近直線

作者：王一哲
日期：2020/5/29

最接近直線

假設自變數為$x$、應變數為$y$、數據共有$n$組，則最接近直線

$$
斜率 \quad a = \frac{\sum x \sum y - n \sum xy}{(\sum x)^2 - n \sum x^2}
$$

$$
y軸截距 \quad b = \frac{\sum x \sum xy - \sum y \sum x^2}{(\sum x)^2 - n \sum x^2}
$$

$$
相關係數 \quad R = \frac{\sum x \sum y - n \sum xy}{\sqrt{\left[ (\sum x)^2 - n \sum x^2 \right] \left[ (\sum y)^2 - n \sum y^2 \right]}}
$$

國家考試規格工程計算機

如果使用國家考試指定的工程計算機型號，例如 CA-01 (CASIO fx-82SX)、CA-20 (CASIO fx-82SOLAR II)、EM-25 (E-MORE fx-330S) ，沒有辦法直接計算線性擬合的方程式，必須分為幾個步驟處理。

CASIO fx-82SX

NumPy Ndarray 分割及數值積分

作者：王一哲
日期：2020/5/15

產生 Ndarray 的方法

由 list 轉為 ndarray

首先引入函式庫

import numpy as np

可以手動輸入資料儲存為 list ，也可以用 for 迴圈產生 list，再用 np.array 轉為 ndarray，語法如下

arr1 = np.array([i for i in range(10)])

也可以改用 np.asarray 轉為 ndarray，語法如下

arr1 = np.asarray([i for i in range(10)])

計算結果為

array([0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9])

使用 NumPy 內建函式

NumPy 內建的 arange 語法與 Python 預設的 range 很像，語法為

np.arange(首項, 末項, 增量)

輸出值不包含末項，第3個參數增量可以是小數，例如

arr2 = np.arange(0, 1, 0.1)

計算結果為

array([0. , 0.1, 0.2, 0.3, 0.4, 0.5, 0.6, 0.7, 0.8, 0.9])

利用反作用力後退

作者：王一哲
日期：2020/1/15

題目

假設有一個裝置本體的質量 $M$，裝置上載有一些即將被水平拋出的物體，物體的總質量為 $m$，且$M>m$。假設總共拋出 $N$ 次，則每次拋出的物體質量 $dm = m/N$，被拋出的物體相對於拋出後本體的速度為 $v$。請問將所有物體拋出後本體的速度$v_t$與拋出次數$N$的關係為何？

理論計算

第1次拋出物體後本體對地速度為 $v_1$，被拋出的物體對地速度為 $v + v_1$，由動量守恆可知

$$(M+m-dm) v_1 + dm (v+v_1) = 0$$
$$v_1 = -\frac{dm \cdot v}{M+m}$$

第2次拋出物體後本體對地速度為 $v_2$，被拋出的物體對地速度為 $v + v_2$，由動量守恆可知

$$(M+m-2dm) v_2 + dm (v+v_2) = (M+m-dm) v_1$$

$$\begin{align*}
v_2 &= \frac{-dm \cdot v + (M+m-dm) v_1 }{M+m-dm} \\
&= -\frac{dm \cdot v}{M+m-dm} + v_1 \\
&= -dm \cdot v \left(\frac{1}{M+m-dm} + \frac{1}{M+m} \right)
\end{align*}$$

第3次拋出物體後本體對地速度為 $v_3$，被拋出的物體對地速度為 $v + v_3$，由動量守恆可知

$$(M+m-3dm) v_3 + dm (v+v_3) = (M+m-2dm) v_2$$

$$\begin{align*}
v_3 &= \frac{-dm \cdot v + (M+m-2dm) v_2 }{M+m-2dm}\\
&= -\frac{dm \cdot v}{M+m-2dm} + v_2\\
&= -dm \cdot v \left(\frac{1}{M+m-2dm} + \frac{1}{M+m-dm} + \frac{1}{M+m} \right)
\end{align*}$$

木棍轉動落下所需時間

作者：王一哲
日期：2019/12/1

前言

我最近在 YouTube 上看到李永樂老師的一部影片：家長輔導小學生作業崩潰：抽出我“40米長大砍刀”，你有幾秒逃生時間？，李老師在影片中很正經地用物理理論，計算40米長大砍刀轉動落下所需時間，這樣一本正經地講解奇怪的東西也挺有趣的。以下用兩種方法計算類似的問題，但是為了使情境稍微正常一點，我將物體改為長度為$L = 1 ~\mathrm{m}$、質量均勻分布的木棍，下端立於水平桌面上，木棍與桌面的夾角$\theta$原為89°，並假設落下過程中木棍不會滑動。

理論計算

假設木棍的質量為$m$且質量均勻分布，長度$L = 1 ~\mathrm{m}$，下端立於水平桌面上，木棍與桌面的夾角原為$\theta_0 = 89^{\circ}$，受到重力作用由靜止開始落下，重力加速度$g = 9.8~\mathrm{m/s^2}$

若以下端為轉軸，則轉動慣量
$$I = \frac{1}{3}mL^2$$

重力產生的力矩
$$\tau = \frac{1}{2}mgL \cos \theta$$

角加速度
$$\alpha = \frac{\tau}{I} = \frac{3g \cos \theta}{2L}$$

由於轉動動能
$$K = \frac{1}{2}I \omega^2$$

當木棍與水平方向夾角為$\theta$時，角速度為$\omega$，由力學能守恆可得
$$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{3}mL^2 \cdot \omega^2 + \frac{1}{2}mgL \sin \theta = 0 + \frac{1}{2}mgL \sin \theta_0$$

$$\omega = \sqrt{\frac{3g(\sin \theta_0 - \sin \theta)}{L}}$$

假設木棍轉動一個很小的角位移$d \theta$，由於$\omega$與$d \theta$反方向，所需時間為
$$dt = -\frac{d \theta}{\omega}$$

當角度由$\theta_0$變為$\theta$時，可以算出經過的時間
$$t = \int_0^t dt = \int_{0}^{\theta_0} \frac{d \theta}{\omega} = \sqrt{\frac{L}{3g}}\int_{0}^{\theta_0} (\sin \theta_0 - \sin \theta)^{-\frac{1}{2}} d \theta$$

無法得到解析解，可以求數值解。利用SymPy計算角度$\theta$由$89^{\circ}$開始，變為$88^{\circ}$、$87^{\circ}$、……、$0^{\circ}$所經過的時間，程式碼寫法如下

Matplotlib 繪圖技巧：水波干涉動畫

作者：王一哲
日期：2019/12/12

前言

以前在維基百科上看到用 MATLAB 繪製的兩個點波源水波干涉動畫，後來我參考網頁上的程式碼，試著用 Scilab 畫出一樣的動畫，甚至把它改成立體圖。但是我現在比較常用 Matplotlib 套件繪圖，也在網路上看過一些用 Matplotlib 繪製的 gif 檔，於是我花了一點時間研究一下繪製動畫的方法。

維基百科兩個點波源水波干涉動畫，圖片來源為 https://en.wikipedia.org/wiki/File:Two_sources_interference.gif

使用 Scilab 自行繪製的水波干涉動畫（2D版）

使用 Scilab 自行繪製的水波干涉動畫（3D版）

SciDAVis 教學 1：XY 散佈圖基本使用方法

作者：王一哲
日期：2019/12/4




SciDAVis 的全名為 Scientific Data Analysis and Visualization，照字面的意思可以翻譯為科學資料分析與視覺化工具，用來分析數據、作圖，而且它是一套自由軟體最新的版本為1.25，下載頁面在此（前往下載） 。類似的商業軟體為 Origin 和 SigmaPlot，但是這兩套軟體的售價不便宜，都在萬元以上。雖然用 MicroSoft Excel 和 LibreOffice Calc 也能做到類似的效果，但是 SciDAVis 處理大量數據的效果更好，即使操作界面是沒有中文化，對高中生而言應該還在可接受的範圍內。

SciDAVis

安裝軟體

如果作業系統為 Windows，請選用 scidavis.1.25-win-dist.msi，下載後使用系統管理員身份執行安裝檔，接著不斷地按下一步就完成了。如果作業系統為 Linux，請選用 scidavis-1.25.tar.gz，下載後解壓縮，再依照資料夾中的檔案 "README.installer" 的指示編輯檔案及安裝。安裝完成後執行程式，畫面如下。

SciDAVis 畫面截圖

SciDAVis 教學 2：作圖技巧及化直

作者：王一哲
日期：2019/12/4

作圖原則

1. 假設自變數為$x$、應變數為$y$，先畫出$y-x$關係圖，如果數據點看起來分布在一條斜直線上，利用線性迴歸畫出最接近直線，計算斜率、截距及其不準量；如果數據點看起來是分布在一條曲線上則進行步驟2。
2. 計算 $\log x$、$\log y$，畫出$\log y - \log x$關係圖，如果數據點看起來分布在一條斜直線上，利用線性迴歸畫出最接近直線，計算斜率、截距及其不準量，其中斜率可以代表$x$、$y$取幾次方時兩者的關係為線性。假設$x$、$y$數學關係為
   $$y^m = kx^n$$
   $$m \log y = \log k + n \log x$$
   $$\log y = \frac{n}{m} \log x + \frac{\log k}{m}$$
   因此$\log y - \log x$關係圖的最接近直線斜率為$n/m$。
3. 計算 $x^n$、$y^m$，畫出$y^m - x^n$關係圖，如果數據點看起來分布在一條斜直線上，利用線性迴歸畫出最接近直線，計算斜率、截距及其不準量。

自由落下時間與高度關係圖

假設小球原為靜止、離地面高度為$h$、受到重力作用開始落下，只考慮重力的作用，重力加速度$g = 9.8~\mathrm{m/s^2}$，小球在空中飛行時間為$t$、飛行時間不準量為$errt$，實驗數據如下

h(m),t(s),errt(s)
2,0.65,0.01
4,0.89,0.01
6,1.11,0.01
8,1.27,0.01
10,1.42,0.01
12,1.57,0.01
14,1.71,0.01
16,1.79,0.01
18,1.92,0.01
20,2.03,0.01

先畫出$t - h$關係圖，發現數據點應該是分布在一條曲線上，無法進行線性擬合。

t - h 關係圖