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2023年4月17日 星期一

無限多個電阻器連接的等效電阻

作者:王一哲
日期:2023/4/17


題目



下圖的每一個電阻器的電阻值皆為 $r$,若每3個電阻器為一組,不斷地向右連接了無窮多組的電阻器,則節點 a、b 之間的等效電阻量值為何?
等效電阻題目電路圖


理論解



由於題目的圖中有無窮多組電阻器,若在節點 a、b 的右側另取兩個節點 c、d,則 a、b 及 c、d 的等效電阻值應該會相等,也就是 $R = R_{ab} = R_{cd}$,可以將電路圖改為下圖。
等效電阻題目電路圖


由上圖可得 $$ R = (R /\mkern-5mu/ r) + 2r ~\Rightarrow~ R = \frac{Rr}{R+r} + 2r ~\Rightarrow~ R^2 + Rr = Rr + 2Rr + 2r^2 \\ \Rightarrow~ R^2 - 2Rr - 2r^2 = 0 ~\Rightarrow~ R = \frac{2r \pm \sqrt{4r^2 + 8r^2}}{2} = (1 \pm \sqrt 3)r $$ 由於電阻值不可能是負值,因此答案為 $(\sqrt 3 + 1)r$