作者：王一哲
日期：2020/7/9
題目（改編自101指考非選題二）
質量分別為 $M$ 及 $m$ 的木塊放置於光滑水平面上，兩個木塊之間以彈性常數為 $k$ 的理想彈簧連接。若將兩個木塊向內壓縮 $\Delta L$ 再由靜止釋放木塊，試求以下的物理量。
- 木塊做簡諧運動週期
- 木塊做簡諧運動的最大速率
- 木塊做簡諧運動的振幅
理論分析
木塊做簡諧運動週期
若將 $x$ 軸的原點設定在 $M$ 的位置，則質心與 $M$ 之間的距離為
$$
x_C = \frac{mL}{M+m}
$$
由於系統的質心位置固定，可以將彈簧從質心位置分割為左、右兩段，長度比為 $m:M$ ，其彈性常數分別為
$$
k_M = \frac{M+m}{m} k
$$
$$
k_m = \frac{M+m}{M} k
$$
兩個木塊做簡諧運動的週期分別為
$$
T_M = 2 \pi \sqrt{\frac{M}{k_1}} = 2 \pi \sqrt{\frac{Mm}{(M+m)k}}
$$
$$
T_m = 2 \pi \sqrt{\frac{m}{k_2}} = 2 \pi \sqrt{\frac{Mm}{(M+m)k}}
$$
兩個木塊做簡諧運動的週期相等，這樣系統質心位置才會固定，這是合理的計算結果。另一種方法是利用約化質量 (reduced mass)
$$
\mu = \frac{Mm}{M+m}
$$
簡諧運動的週期為
$$
T = 2 \pi \sqrt{\frac{\mu}{k}} = 2 \pi \sqrt{\frac{Mm}{(M+m)k}}
$$
2022/5/15 補充說明約化質量的推導過程
假設木塊 $M$ 受的到作用力為 $\mathbf{F_M}$，木塊 $m$ 受的到作用力為 $\mathbf{F_m}$，由於兩者之間用彈簧連接，$M$、$m$、彈簧系統水平方向沒有外力，因此
$$
\mathbf{F_M} + \mathbf{F_m} = 0 ~\Rightarrow~ \mathbf{F_m} = -\mathbf{F_M}
$$
兩者的加速度分別為
$$
\mathbf{a_M} = \frac{\mathbf{F_M}}{M} ~~~~~ \mathbf{a_m} = \frac{\mathbf{F_m}}{m} = -\frac{\mathbf{F_M}}{m} = -\frac{M}{m} \mathbf{a_M}
$$
$M$ 相對於 $m$ 的加速度為
$$
\mathbf{a_{Mm}} = \mathbf{a_M} - \mathbf{a_m} = \left( 1 + \frac{M}{m} \right) \mathbf{a_M} = \frac{M+m}{m} \cdot \frac{\mathbf{F_M}}{M} ~\Rightarrow~ \mathbf{F_M} = \frac{Mm}{M+m} \mathbf{a_{Mm}}
$$
若定義約化質量
$$
\mu = \frac{Mm}{M+m}
$$
則上式可改寫為
$$
\mathbf{F_M} = \mu \mathbf{a_{Mm}}
$$
運用約化質量，可以將兩個物體的運動，簡化成其中一個物體相對於另一個物體的運動。
